가군 문서 원본 보기

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가군(module)은 간단히 말하자면 체(field)가 아닌 환(ring) 위에서의 벡터 공간이라고 할 수 있다. 다시 말해 M이 환 R위에서의 가군이라는 것은 다음과 같은 두 연산이 정의되어 있다는 것이다.

(덧셈) <math> + : M \times M \rightarrow M </math>가 정의되어 있으며 <math> (M,+) </math>는 아벨 군이다. 즉, 임의의 <math> a, b, c \in M </math>에 대해
 * 결합 법칙 : <math> (a+b) + c = a + (b+c) </math>
 * 교환 법칙 : <math> a + b = b + a </math>
 * 항등원 존재 : <math> 0_M \in M </math>가 존재해 <math> a + 0_M = 0_M + a = a </math>
 * 역원 존재 : <math> a + x = x + a = 0_M </math>를 만족하는 <math> x \in M </math>가 존재한다.

(스칼라곱) <math> \cdot : R \times M \rightarrow M </math>[* 사실 스칼라곱이 반드시 왼쪽에서 행해질 이유는 없다. 스칼라곱을 <math> \cdot : M \times R \rightarrow M </math>으로 둘 경우 이 집합을 오른쪽 가군(right module)이라고 부르며, 이에 대응되는 의미로 여기서 정의하는 가군을 왼쪽 가군(left module)이라 부른다.]가 정의되어 있으며 임의의 <math> a, b \in R </math>과 <math> x, y \in M </math>에 대해 다음을 만족한다.
 * 결합 법칙 : <math> (ab) \cdot x = a \cdot (b \cdot x) </math>
 * 분배 법칙 1 : <math> (a+b)\cdot x = a\cdot x + b\cdot x </math>
 * 분배 법칙 2 : <math> a\cdot (x+y) = a \cdot x + a\cdot y </math>
 * 항등원 곱 : <math> R </math>의 곱셉에 대한 항등원 <math> 1_R </math>에 대해 <math> 1_R \cdot x = x </math> [* 이 조건은 환의 정의에 따라 달라진다. 환의 정의에 곱셈의 항등원을 요구하지 않는 경우에는 이 조건이 생략된다. 만약 환의 정의에 곱셈의 항등원이 포함된다면, 이 조건이 생략된 집합을 유사 가군(pseudomodule)이라 부른다.] 

벡터 공간이 아닌 가군의 예로는 이데알(ideal)을 들 수 있다. 환 R에서의 이데알 I에 대해 스칼라곱을 R에서의 곱셈 연산으로 주면 이데알의 정의에 따라 스칼라곱은 I에 닫혀있고, 따라서 I는 R 위의 가군이라 할 수 있을 것이다.

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