가군

대수학
이론
기본대상				방정식 ・ 부등식 ・ 산술
수 체계				실수 · 복소수 · 사원수
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군(Group)						군의 작용, 실로우 정리
환(Ring)						가환대수학
체(Field)						갈루아 이론
가군(Module)
대수(Algebra)
정리
대수학의 기본정리 · 나머지 정리
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분야와 관심대상
대수학
	정수론						대수적 정수론 · 해석적 정수론
	선형대수학						벡터 · 행렬 · 선형변환
	대수기하학						스킴 · 모티브 · 사슬 복합체

가군(module)은 간단히 말하자면 체(field)가 아닌 환(ring) 위에서의 벡터 공간이라고 할 수 있다. 다시 말해 M이 환 R위에서의 가군이라는 것은 다음과 같은 두 연산이 정의되어 있다는 것이다.

(덧셈) [math] + : M \times M \rightarrow M [/math]가 정의되어 있으며 [math] (M,+) [/math]는 아벨 군이다. 즉, 임의의 [math] a, b, c \in M [/math]에 대해

• 결합 법칙 : [math] (a+b) + c = a + (b+c) [/math]
• 교환 법칙 : [math] a + b = b + a [/math]
• 항등원 존재 : [math] 0_M \in M [/math]가 존재해 [math] a + 0_M = 0_M + a = a [/math]
• 역원 존재 : [math] a + x = x + a = 0_M [/math]를 만족하는 [math] x \in M [/math]가 존재한다.

(스칼라곱) [math] \cdot : R \times M \rightarrow M [/math]가 정의되어 있으며 임의의 [math] a, b \in R [/math]과 [math] x, y \in M [/math]에 대해 다음을 만족한다.

• 결합 법칙 : [math] (ab) \cdot x = a \cdot (b \cdot x) [/math]
• 분배 법칙 1 : [math] (a+b)\cdot x = a\cdot x + b\cdot x [/math]
• 분배 법칙 2 : [math] a\cdot (x+y) = a \cdot x + a\cdot y [/math]
• 항등원 곱 : [math] R [/math]의 곱셉에 대한 항등원 [math] 1_R [/math]에 대해 [math] 1_R \cdot x = x [/math]

벡터 공간이 아닌 가군의 예로는 이데알(ideal)을 들 수 있다. 환 R에서의 이데알 I에 대해 스칼라곱을 R에서의 곱셈 연산으로 주면 이데알의 정의에 따라 스칼라곱은 I에 닫혀있고, 따라서 I는 R 위의 가군이라 할 수 있을 것이다.