대수학 | |||||||||||||||||||||||
이론 | |||||||||||||||||||||||
기본대상 | 방정식 ・ 부등식 ・ 산술 | ||||||||||||||||||||||
수 체계 | 실수 · 복소수 · 사원수 | ||||||||||||||||||||||
구조와 관심대상 | |||||||||||||||||||||||
군(Group) | 군의 작용, 실로우 정리 | ||||||||||||||||||||||
환(Ring) | 가환대수학 | ||||||||||||||||||||||
체(Field) | 갈루아 이론 | ||||||||||||||||||||||
가군(Module) | |||||||||||||||||||||||
대수(Algebra) | |||||||||||||||||||||||
정리 | |||||||||||||||||||||||
대수학의 기본정리 · 나머지 정리 | |||||||||||||||||||||||
다항식 · 유클리드 호제법 · 대수#s-1 · 노름 | |||||||||||||||||||||||
분야와 관심대상 | |||||||||||||||||||||||
대수학 | |||||||||||||||||||||||
정수론 | 대수적 정수론 · 해석적 정수론 | ||||||||||||||||||||||
선형대수학 | 벡터 · 행렬 · 선형변환 | ||||||||||||||||||||||
대수기하학 | 스킴 · 모티브 · 사슬 복합체 |
가군(module)은 간단히 말하자면 체(field)가 아닌 환(ring) 위에서의 벡터 공간이라고 할 수 있다. 다시 말해 M이 환 R위에서의 가군이라는 것은 다음과 같은 두 연산이 정의되어 있다는 것이다.
(덧셈) +:M×M→M가 정의되어 있으며 (M,+)는 아벨 군이다. 즉, 임의의 a,b,c∈M에 대해
- 결합 법칙 : (a+b)+c=a+(b+c)
- 교환 법칙 : a+b=b+a
- 항등원 존재 : 0M∈M가 존재해 a+0M=0M+a=a
- 역원 존재 : a+x=x+a=0M를 만족하는 x∈M가 존재한다.
(스칼라곱) ⋅:R×M→M[1]가 정의되어 있으며 임의의 a,b∈R과 x,y∈M에 대해 다음을 만족한다.
- 결합 법칙 : (ab)⋅x=a⋅(b⋅x)
- 분배 법칙 1 : (a+b)⋅x=a⋅x+b⋅x
- 분배 법칙 2 : a⋅(x+y)=a⋅x+a⋅y
- 항등원 곱 : R의 곱셉에 대한 항등원 1R에 대해 1R⋅x=x [2]