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가군(module)은 간단히 말하자면 체(field)가 아닌 환(ring) 위에서의 벡터 공간이라고 할 수 있다. 다시 말해 M이 환 R위에서의 가군이라는 것은 다음과 같은 두 연산이 정의되어 있다는 것이다.

(덧셈) +:M×MM가 정의되어 있으며 (M,+)는 아벨 군이다. 즉, 임의의 a,b,cM에 대해

  • 결합 법칙 : (a+b)+c=a+(b+c)
  • 교환 법칙 : a+b=b+a
  • 항등원 존재 : 0MM가 존재해 a+0M=0M+a=a
  • 역원 존재 : a+x=x+a=0M를 만족하는 xM가 존재한다.

(스칼라곱) :R×MM[1]가 정의되어 있으며 임의의 a,bRx,yM에 대해 다음을 만족한다.

  • 결합 법칙 : (ab)x=a(bx)
  • 분배 법칙 1 : (a+b)x=ax+bx
  • 분배 법칙 2 : a(x+y)=ax+ay
  • 항등원 곱 : R의 곱셉에 대한 항등원 1R에 대해 1Rx=x [2]
벡터 공간이 아닌 가군의 예로는 이데알(ideal)을 들 수 있다. 환 R에서의 이데알 I에 대해 스칼라곱을 R에서의 곱셈 연산으로 주면 이데알의 정의에 따라 스칼라곱은 I에 닫혀있고, 따라서 I는 R 위의 가군이라 할 수 있을 것이다.
  1. 이동 사실 스칼라곱이 반드시 왼쪽에서 행해질 이유는 없다. 스칼라곱을 :M×RM으로 둘 경우 이 집합을 오른쪽 가군(right module)이라고 부르며, 이에 대응되는 의미로 여기서 정의하는 가군을 왼쪽 가군(left module)이라 부른다.
  2. 이동 이 조건은 환의 정의에 따라 달라진다. 환의 정의에 곱셈의 항등원을 요구하지 않는 경우에는 이 조건이 생략된다. 만약 환의 정의에 곱셈의 항등원이 포함된다면, 이 조건이 생략된 집합을 유사 가군(pseudomodule)이라 부른다.