기조력

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1 개요

조석력이라고도 한다.조석의 힘
조석을 일으키는 힘(Tide generating force)라는 뜻이며, 천체와의 거리와 행성 자체의 크기 때문에 나타나는 중력의 공간적 차이가 원인이 되어 발생하는 힘이다. 균형조석론, 동역학적 조석론 등 모든 조석 형성 이론에서 조석을 일으키는 원인으로 상정된다. 당연한 얘기지만 선사 시대 사람들도 조석현상에 대해서는 알고 있었다. 그러나 엄밀한 설명이 가능해진 것은 뉴튼의 중력법칙이 발견된 이후이고, 아래에서 보듯이 그 계산도 그리 간단하지 않다.

천문학에서는 다른 천체의 영향으로 천체 내부에 직접 작용하여 천체를 변형시키는 힘으로 나타나기도 한다. 이 기조력 때문에 위성이 행성의 중력에 의해 부숴지기 시작하는 최대 거리인 로쉬의 한계가 나타나며, 이 거리 이내에는 위성이 온전한 구의 형태로 존재하는 것이 불가능하다.

2 계산을 위한 간단한 가정

당연하게도 지구의 조석현상은 달과 태양의 중력, 지구의 회전, 대양과 육지의 경계면의 모양 등에 영향을 받는다. (인천 앞바다의 조수 간만의 차가 동해의 10배가 넘는다는 것을 상기해 보자.) 아주 간략하게 조석이 어떤 원리로 일어나는지를 이해하기 위해 다음과 같은 가정을 한 후 계산을 해 보자.

• 태양의 영향을 무시한다.
• 지구의 회전을 무시한다.
• 지표면이 100% 물로 덮여 있고, 달의 중력이 작용하기 전에는 그 모양이 완벽한 구형이다.

이 계산에 있어 가장 주의해야 할 점은, 지구 자체와 그 표면의 물은 각각 달의 중력에 의해 서로 다른 가속을 받고 있다는 것이다. 그래서 지구 중심을 좌표계의 원점에 놓는 식의 계산은 (불가능하진 않겠지만) 비관성좌표계에서의 운동방정식을 따로 세심하게 세워 주지 않는 이상 잘못된 결과를 주게 된다. 그래서 아래와 같이 절대적인 관성좌표계를 잡고 가속도의 차이(!)를 계산하는 게 정석적인 방법이다.

3 계산

그림을 참고하며 수식을 보면 더 쉽다.
파일:I6hkvIE.png

균형조석론에서 조석의 원인이 되는 해수에 가해지는 기조력은 다음과 같다.
[math] M [/math] 은 천체의 질량, [math] r [/math] 은 천체와 지구중심과의 거리, [math] R [/math] 은 지구반지름이며 [math] F = GMm/r^2 [/math] 라는 만유인력식으로부터 다음과 같이 유도할 수 있다. (여기에서 [math] G [/math] 는 중력상수이다.) 천체와 가까운 해수와 천체의 거리는 [math] r-R [/math], 지구중심과 천체의 거리는 [math] r [/math] 이므로 둘의 가속도 차이는 아래와 같이 표현되고 전개된다.

[math] \displaystyle a_{\text {diff}} =\frac {GM}{\left(r-R\right)^{2}}-\frac {GM}{r^{2}} [/math]

여기에서 첫번째 항은 해수가 달 방향으로 받는 가속도이고, 두번째 항은 지구 중심이 달 방향으로 받는 가속도이다. 그러므로 [math] a_{\text {diff}} [/math] 가 해수가 조석력에 의해 받는 겉보기 가속도이고, 여기에 해수의 질량을 곱한 게 조석에 의한 힘 이 된다. 수식을 정리해 보면,

[math] \displaystyle a_{\text {diff}} =\frac {GM\cdot \left(2rR-R^{2}\right)}{r^{2}\left(r-R\right)^{2}}[/math]

여기에서 지구 반지름 [math] R [/math]이 지구와 달과의 거리 [math] r [/math] 에 비해 매우 작다고 가정하고 1차 오더의 근사적인 표현을 찾아 보면 다음과 같다.

[math] \displaystyle a_{\text {diff}} = \frac {2GMR}{r^{3}} [/math]

실제의 기조력은 이 가속도의 차이에 해수의 질량 [math] m [/math] 을 곱하여 다음과 같이 표현된다.

[math]\displaystyle F_T = \frac {2GMmR}{r^{3}} [/math]

위 식에서 볼 수 있듯 기조력은 천체의 질량 [math] M [/math] 과 지구반지름 [math] R [/math] 에 비례하고 천체와 지구사이의 거리 [math] r [/math]의 세제곱에 반비례한다. 힘의 부호가 플러스인 것은 바닷물이 달 쪽으로 끌어당겨진다는 것(만조)을 의미한다. 같은 방식으로 그림의 행성의 제일 윗부분(달과의 각도가 90도인 지점)에서의 기조력을 계산해 보면,

[math] \displaystyle F_T = -\frac {GMmR }{r^{3}} [/math]

마이너스 부호는 바닷물이 지구 중심쪽으로 끌어당겨진다는 것(간조)을 의미한다.

4 조수간만의 차의 해석

위의 식만으로는 그래서 간만의 차가 1 mm인지 1m인지 1 km인지 곧바로 알 수가 없는데, 다음과 같은 간단한 계산을 통해 실제 간만의 차를 계산할 수 있다. 지구 중심에서 그림상 위쪽으로 정확히 [math] R [/math] 떨어진 지점과 오른쪽으로 정확히 [math] R [/math] 떨어진 지점간의 포텐셜 에너지의 차이는 다음과 같이 계산된다. (계산 편의를 위해 지구 중심을 거쳐 움직이는 경로를 가정하였다.)

[math] \displaystyle W = \frac {GMm}{r^{3}} \left[ \int_R^0 -y dy + \int_0^R 2x dx \right] = \frac {3GMmR^2}{2r^{3}} [/math]

이러한 에너지 차 때문에 바닷물의 높이가 똑같지 못하고 조금 달라질 것이다. 딱 [math] mgh = W [/math] 에 해당하는 높이만큼만. 즉,

[math] \displaystyle h = \frac {3GMR^2}{2gr^{3}} [/math]

이 실제 이상적인 조건에서의 조수간만의 차이다. 지구와 달의 파라미터를 대입해 보면, 0.54 m 라는 답이 나오고, 태양의 영향력이 대략 그 절반 정도라는 것도 쉽게 계산된다. 실제로 대양의 한가운데쯤에서는 이 값이 대체적으로 맞지만, 지형의 영향이 강한 인천앞바다 같은 곳은 그 10배가 넘는다.

5 행성간의 기조력

블랙홀이나 중성자별 같은 묘한 천체 주위에 가는 게 아니고서야 사람이나 우주선처럼 작은 물체가 기조력을 느낄 일은 없지만 소행성급 천체가 되면 양끝의 중력 차이가 상당히 커지기 때문에 중요하게 작용한다. 어떤 행성이나 항성 옆을 지나는 작은 천체가 모양을 유지할 수 있게 해 주는 자체 중력보다 행성이나 항성에서 받는 기조력이 커지면 천체는 부숴져 버린다. 이 현상은 지나는 천체의 밀도(즉, 자체 질량(=중력)과 그 크기) 및 모행성의 중력 및 둘 사이의 거리로 표시되는데 이 거리를 로쉬의 한계(Roche limit)라고 부른다. 밀도가 높은 천체일수록 기조력을 잘 견디므로 부숴지지 않고 더 가까이까지 접근할 수 있다. 지구라고 예외는 아닌데 달의 경우 달의 질량중심이 지구와 10000km 정도 가까이 오면 지구의 중력으로 으스러진다. 그리고 세계는 멸망한다 그런 거대한 천체가 그렇게 가까이 오는 일이 흔치 않은 만큼 지구처럼 그리 크지 않은 행성에서야 이런 일이 잘 발생하지는 않지만 거대 행성이라면 쉽게 일어난다. 예컨대 토성이나 다른 목성형 행성들이 지닌 고리는 이 현상 때문에 생긴 것으로 생각되는데, 실제로 고리들의 대부분은 기조력 때문에 위성이 부숴지는 로쉬의 한계 안쪽에 존재한다.

크기가 작은 위성일수록 자체 중력보다 구성 물질의 결합력이 더 중요해진다. 이러한 위성들은 로시 한계가 적용되지 않기 때문에 행성에 바짝 붙어 공전하는 것이 가능하다. ISS같은 저궤도 인공위성들이 불과 300km 고도에서 지구를 공전하고 있음에도 불구하고 기조력으로 분해되지 않는 이유,