수학

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Mathematics, Maths, Math

1 개요

과학의 범위
자연과학물리학 · 화학 · 생명과학(생물학) · 지구과학 · 천문학
형식과학수학 · 통계학 · 논리학 · 암호학 · 이론전산학 · 결정이론
응용과학공학 · 의학 · 수의학 · 치의학 · 약학 · 건축학 · 농학 · 컴퓨터과학
사회과학정치학 · 사회학 · 경제학 · 지리학 · 인구통계학
과학이 아닌 것유사과학 · 비과학 · 반과학 · 변경지대의 과학 · 인문학


수학의 한자 풀이는 수를 다루는 학문이지만 숫자와는 거리가 먼 분야들도 많이 다룬다. 한자와 달리 고대 그리스어에 기원을 둔 mathematics라는 영단어는 ‘배움의 기술’ 정도의 의미를 갖고 있어 그 의미하는 바가 사뭇 다르다.

어려운 용어는 다 치워놓고 이해하기 쉽게 설명하면, "인간의 사고와 생활에서 생기는 다양한 개념, 문제들을 명료하고 단순하게 만드는 학문"으로 설명할 수 있다. 예를 들어 미적분은 난잡한 농작지에서 토지세를 정확히 걷기 위해 발전되었으며, 기하학은 목수들이 집을 지으며 수치를 명확히 하는 과정에서 발전되었다. 세금을 걷는데 다섯 걸음 마다 금화 한 닢, 성인 장정 한명 만큼 금화 한 닢이면 사람마다 보폭이 다르고 키가 달라 세금을 정확히 걷을 수 없다. 그래서 어떻게 해도 의미가 달라지지 않는 숫자와, 그 숫자를 적용해 난해한 문제를 명료하게 만드는 학문, 수학이 필요하다.

1.1 수학은 자연과학인가

흔히 과학, 그것도 자연과학으로 분류되지만 수학을 제외한 자연과학은 수학과 차이를 갖는다. 과학에선 실험, 관찰 등의 과학적 방법론을 통해 현상을 연구한다. 하지만 수학은 논리체계와 그 논리에 대한 증명만을 연구한다. 현상과 경험을 관찰하는건 수학의 영역이 아니다.

수학은 과학이라기보다는 오히려 예술 내지는 철학/논리학에 가까운 영역이며 기본적으로 연역논리로 전개되는 학문이기 때문에 귀납논리로 꾸려진 과학과는 근본적으로 다르다.

연역논리로 전개되었기때문에 공리만 받아들이면 그로부터 도출된 결론은 절대 변하지 않는다. 가장쉬운예로 피타고라스 정리는 그리스 시절 증명된 이후 아무도 그 거짓여부에 대해 의문을 갖지 않는다. 평면기하학의 공리 5개는 비교적 상식적으로 받아들일만 하며(단, 5번 평행공리는 예외일 수 있다만 평면에서 벌어지는 일에대해서는 5개 모두 받아들일만 하다.) 이것만 받아들이면 여태까지 알려진 기하학적 지식들을 시간과 두뇌만 충분하면 누구나 다 추리해서 알아낼 수 있다.단, 오일러 가우스 급의 두뇌가 필요하다

하지만 과학은 다르다. 과학중 수학과 가장 가까운 물리 조차도 귀납학문이다. 예로 F=ma 라는 뉴턴의 운동법칙이나 광속은 모든 관찰자에게 동일하게 보인다는 상대론의 가정, 만유인력이 왜 거리의 네제곱이나 세제곱이 아닌 제곱에 반비례하는지 그 이유를 설명할 수 없으며 (사실 중력장을 파동이나 입자의 방출이라 가정하면 수리적으로 역제곱 법칙이 도출된다. 비슷하게 전자기장도 빛 혹은 광자의 방출이기 때문에 역제곱 법칙을 따른다. 그렇기에 물리학자들이 백년 넘게 중력파/중력자가 있다고 믿어왔고 전자는 실험적으로 증명이 됐다) 그것을 자연이 그렇다는 식으로 공리론적으로 접근하더라도 공리가 절대 상식적으로 받아들여지지 않는다.

그리고 물리는 세상을 설명하기 위한 학문이기때문에 수학과는 달리 현실에 맞게 공리를 설정하므로 이렇게 전개된 논리가 세상을 잘 설명하는지 끊임없이 시험대에 오른다.

예로 뉴턴의 운동이론은 상대론에 의해 저속에서 근사적으로만 비슷하게 맞는다는 것이 밝혀졌고, 그 상대론 조차도 참거짓 여부에 대해 이론이 나온지 100여년이 지난 지금까지 계속 검증을 하겠다고 하고있다. 수학에서는 있을 수가 없는일이다. 증명이 되면 된거고 아니면 미제로 계속 남아있다. 연속체 가설은?

그리고 상대론을 포함한 모든 과학이론은 검증시험을 통과하더라도 여전히 틀릴가능성은 언제나 남아있다. 명제에서 원 명제와 역은 동치가 아니고 동치인 것은 대우이기 때문에 A이면 B인 것과 B이면 A이다는 동치가 아니다. 즉, 상대론이 맞아서 현상을 설명한다와 어떤 현상이 상대론으로 설명되니까 상대론은 맞다가 동치가 아닌 것이다. 아무리 검증실험을 많이 한다하더라도 얻을 수 있는 결론은, 그 시험을 다 통과한다하더라도, 지금까지는 오류가 발견되지 않았다.일 뿐인 것이다.

물리학의 공리론적인 접근에 대해, 아인슈타인은 "물리학자의 목표는 세계를 연역하는 가장 넓고 근본적인 법칙을 찾아내는 것이다. 하지만, 연역적 방법으로 그 법칙을 찾을 수는 없다. 직관이 그 방법이다." 라고 말했다.

2 수학에 관한 말들

가우스는 수학은 과학의 여왕이고 정수론은 수학의 여왕이라 칭한 바 있다. 그러나 여기서 과학이란 독일어 단어 Wissenschaft를 번역한 것인데 Wissenschaft는 이공계열만이 아닌 학문 전반을 통칭한다. 즉, “수학은 학문의 여왕, 정수론은 수학의 여왕”이란 문장이다. 과학 중에서 수학이 가장 쓸모 없으므로 수학이 과학의 여왕이고 수학 중에서 정수론이 가장 쓸모 없으므로 정수론이 수학의 여왕이라나.

리처드 파인만은 “물리학과 수학의 관계는 섹스와 수음의 관계와 같다”라는 위대한 명언을 남겼다.[1] 그런데 그 말을 하고 바로 한 말이 “하지만 문제가 생기면 우리 불쌍한 물리학자들은 수학자들에게 굽신거리죠” 레너드 서스킨드는 이걸 두고 "물리학은 파트너와 같이 하기 때문에"(...) 사실 물리학과에서 학부 동안 거의 수학만 해서 그렇다 카더라

세종대왕은 과학이나 역법을 연구하기 위해 수학을 직접 공부하기도 했는데 수학을 공부하면서 “수학은 왕이 배울 학문이 아닐지도 모르나 이 또한 성인이 지정한 것이므로 알고자 한다”라는 말을 남겼다고 한다.

칸토어는 “수학의 본질은 자유다”라는 아주 유명한 말을 남겼다. 수학을 연구하는 방향은 어느 방향으로 연구해도 수학이 될 수 있다는 뜻 정도다.[2]

한편 수학의 황제 힐베르트는 자신의 연설에서 “제가 살아있는 동안 리만 가설은 증명될 것이며 페르마의 마지막 정리는 여기 앉아계신 관중들의 아이들이 죽기 전에 증명될 것이고 [math]2^{\sqrt{2}} [/math]이 초월수인지 아닌지는 우리의 몇 세대가 지나더라도 증명이 되긴 어려울 것입니다”라는 말을 남겼다. 그러나 이 예상은 ‘정반대로’ 진행됐는데 마지막 문제는 힐베르트가 죽기 전인 1930년에 증명되었고[3], 페르마의 마지막 정리는 1995년에 증명되었다.[4] 그리고 끝판왕 리만 가설은 아직 증명되지 않았다.

3 수학의 응용 범위

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xkcd 435화 'Purity'

이 중에서 물리학과의 관계는 매우 각별한데 물리학의 경우에는 광학이나 양자역학 등을 하면서 엄밀성을 포기하는 대신[5] 수학과 학부 수준에서는 다루기 어려운 수학의 결과물들을 많이 사용하곤 한다. 물리에 필요한 수학들은 보통 수리물리학을 통해서 공부하지만 수학과 수업을 듣거나 복수전공해버리는 학생도 있다. 공학의 경우는 자기 필요한 부분에 한해 수학을 쓴다는 개념이지만 엔지니어링에 수학을 응용한다는 것이 차이일 뿐 논리전개 방식 자체는 수학의 방식 그대로다.[6]

사회과학에서도 거의 모든 학문이 수학을 적극적으로 도입해 사용한다. 경제학이야 뭐 대표적이고[7] 일반인들은 전혀 그런다고 생각하지 못하는 정치학이나 사회학도 이미 수학을 사용한 방법론이 깊숙히 침투해 있다.
이른바 합리적 선택이론(rational choice theory) 내지는 일반화 이론(formal theory), 계량적 방법론(quant), 연결망 이론(network theory)가 그것이다. 아예 수학적 분석으로 이루어진 수리사회학이라는 영역도 존재한다. 이 경우 학부에서 수학을 전공한 사람이 공부하는 경우가 대부분이다. 그것도 교양 미적분학 수준도 아니고 웬만한 중급 선형대수학과 통계학, 미분방정식을 사용하는 모델링이다.인류학에서도 하위 분야인 체질인류학에서 통계 분석을 위해 수학을 동원하는 등 수학과 관련있는 분야가 존재한다.

철학은 아무런 관련이 없을 것 같다고? 분석철학 책 한 권만 읽어보도록. 애초에 버트런드 러셀, 앨프리드 화이트헤드 같은 경우에는 한 시대의 가장 위대한 철학자인 동시에 수학자다. 거기에 현재 인지도가 있는 프랑스 철학자 알랭 바디우의 경우 자신의 사상을 수학적 집합론으로 풀었다. 수학과 철학이 관계 없다는 것은 틀린 것이다. 애초 문리과대학이 무슨 의미일까 생각해보면 된다. 쉽게 말해서 논리학은 수학과 매우 밀접한 관계고 철학은 논리학과 밀접한 관계다.

심지어 수학과 전혀 관계없을 것처럼 보이는 역사학마저도 방법론 단계에서 수학을 도입하는 경우가 많다. 경제사, 정치사 등을 연구할 때 각종 통계 수치를 분석하기 위해 수학을 동원하고 있으며, 전쟁 등 역사적 사건의 빈도를 수학적으로 계산해 일반화시키는 시도까지 존재하고 있다.[8] 조만간에 심리역사학이 진짜 등장할 기세

더 충격적인 것은 야구를 할때도 수학이 사용된다! 머니볼 엄밀히 말하자면 아니다.

그러나 공학과 자연과학 분야를 제외한 수학의 활용은 다른 학문에서 모델링 도구, 알고리즘 도구로 사용되는 것이다. 그것도 필요할 때 관련 수학 분야 일부를 도입하는 것이지, 수학의 전체를 알아야 할 필요는 없다. 즉, 고등학교까지의 수학과 달리 대부분 전문 기술적으로 쓰기 때문에 너무 부담스러워 할 것 없다.
정작 진짜 수학은 그다지 응용 여지가 크지 못하다. 수학의 응용은 다른 학문에서 모델링 도구, 알고리즘 도구로 사용되는 것이다. 그것도 필요할 때 관련 수학 분야 일부를 도입하는 것이지, 수학의 전체를 알아야 할 필요는 없다.

4 수학의 세부 분야

크게 쪼개보자면

전통적으론 위 5가지로 나누지만, 현대에는 분야별 경계가 점점 희미해지는 추세이다.

우리가 중고등학생 때 배우는 기하학이랑은 차원이 다르다. 당장 유클리드 기하학만 하더라도 수많은 공식들이 난무하며 머리가 돌아갈 지경. 학부 때 배우는 기하학은 보통의 2~3차원 유클리드 공간에 존재하는 기하학적 오브젝트[9]를 고차원으로 확장시켜 배우며 높은 수준으로 가면 종이에 표현이 불가능한 추상적 공간과 수식, 논리식밖에 안 나온다. 예를 들어, 2~3차원에서의 surface를 임의의 차원으로 확장시킨 것을 manifold(다양체)라고 한다. 그리고 여기까지 오면 이게 대체 왜 기하학에 속하는지가 이해하기 힘들 것이다. 사실 이는 그림으로 표현이 불가능해졌을뿐, 공간의 기하학적 구조를 다룬다는 사실 자체는 같기 때문에 기하학의 한 개체로 보는 것이 맞다. 기하학은 일반적으로 해석기하학과 대수적 기하학으로 나뉘는데, 현대수학에 와서 해석기하학은 미분기하학으로 대표된다. 미분기하학은 미분이라는 구조를 가지고 curve와 surface, 나아가서는 manifold와 vector bundle을 위시한 기하학적 개체를 다루는 학문이다. 대수적 기하학의 경우 현대수학의 각 분야 전반과 매우 깊은 연관을 맺고 있다. 심지어 수학기초론도 포함된다. 일반적인 기하학보다도 훨씬, 타 분야와의 관련성이 많다.
위상공간에 관한 학문으로 위상(topology)이란 임의의 집합과 그 위에 특정 조건에 따라 정의된 열린 집합들의 집합족이고, 어떤 집합에 어떠한 위상을 준 것을 위상공간이라 한다. 저 조건이란 게 매우 약하기 때문에 사실상 수학에서 사용되는 거의 모든 오브젝트에 정의가 가능하다. 즉, 프로그래밍 언어에도 위상을 정의하여 위상공간으로 만들 수 있고 논리체계에도 위상을 정의하여 위상공간으로 만드는 게 가능하다. 위상수학은 크게 일반위상수학, 대수적위상수학, 미분위상수학의 세 분야가 있다. 일반위상수학은 말 그대로 일반적인 공간의 성질들, 예를 들어 컴팩트, 분리공리 등을 다루고, 대수적위상수학은 호모토피라든지 이의 기본군, 그리고 피복공간이나 공간의 축약 등에 대해 다룬다. 마지막으로 미분위상수학은 미분기하학에서 다루었던 여러 대상들, 텐서, 접공간 등이 등장하고 또한 미분다양체 위에서의 여러가지 성질이나 그런데 사실 미분다양체는 미분위상수학의 부분이자 전체다 미분형식 등을 특히 주로 다룬다. 위상수학에 관해 정성적으로 말하자면 보통의 기하학이 거리공간을 사용하여 '거리' 도 어느정도 중시한다면 위상공간은 '경계' 를 중시하는 경향이 있다. 즉, 위상수학에서는 '닿았는가 닿지 않았는가' 를 중시하고 닿지 않았을 경우 '얼마나 떨어져있는가' 는 보통 거리공간을 사용하는 기하학의 영역이다. 이는 상기했듯 위상수학은 기하학과 달리 공간의 본질에 대해 주로 다루기 때문이다. 물론 초반부 이야기고 어차피 나중 가면 알아볼 수 없게 뒤섞이게 된다. 이는 공간의 표면과 본질은 완전히 분리될 수 없음을 의미한다.
임의의 대수적 구조를 연구하는 학문이다. 대수적 구조란 쉽게 말해 '연산' 의 구조다. 임의의 집합에 특정 연산을 조건에 맞게 정의하면 대수적 구조가 된다. 학부 때 해석학과 함께 수학의 양대산맥을 이루는 분야인데 해석학이 디테일한 테크닉에 집중된 스타일이라면 대수학은 추상적인 논리 위주의 분야라고 볼 수 있다. 물론 학부 때로 한정되는 이야기고 나중 가면 결국 타 분야에서 대수적 구조가 발생하지 않을 이유가 없으므로 섞이게 된다.
현대 대수학이 발전하는 과정에서 발달하게 된 것이 군론이며 추상대수학의 기본이 되는 분야다. 역사적으로도 19세기 추상대수학이 태동할 때 맨 처음 개발된 분야다. 사실상 추상대수학 자체가 군론에서 뻗어나간 결과물이라고 보아도 무방하다.
대수학을 비롯한 근대 수학이 꽃피기 전까지 가히 수학의 여왕으로 군림했다고 할 수 있는 분야다. 정수론에서 다루는 정수(整數)가 Integer이 아니라 Number로 번역되는 것만 봐도 알 수 있다. 실제로 대수적 수까지 포함하여 수론으로 통칭하기도 한다. 현대 수학의 발전 이후에는 주로 대수학의 범주에 들어가게 되었으나, 문제 해결을 위한 방법론은 실로 다양하다. 대수학적 방법론 외에도 디오판토스 방정식과 타원곡선 등을 다루는 데에는 해석적 방법론이, 격자점 문제 등을 다루는 데에는 기하학적 방법론이 사용되기도 한다. 또 20세기 이전에는 정치적으론 그다지 각광을 받지 못하는 수학자들만의 분야였으나, 양차 세계대전 당시 소수를 기반으로 한 암호 체계가 발달하면서 사회적으로도 주목받게 되었다. 이와 동시에 우리 현실과 밀접하게 연관되어 있는 계산적 정수론이 발전하게 되었다. 수많은 정수론자들이 리만가설을 증명하려 노력하고 있지만 아직 증명을 못하고 있다. 넷상에서 리만가설이 증명되면 RSA 암호체계에 결함이 생긴다는 이야기가 떠도는데, 근거없는 이야기이다. 간단히 생각해봐도 만약 그것이 사실이라면 리만가설이 증명되었다고 가정하면 암호체계를 뚫을 수 있을 수 있을 텐데 그런 일은 없다. 이 이야기는 다큐멘터리 등에서 수학의 유용성을 어떻게해서든 보이려 일부러 표현을 모호하게 하였기 때문으로 보여지는데, 리만가설과 RSA와의 관계는 소수를 다룬다는 사실 이외에는 없다.
주로 해석학이라 하면 실수와 복소수를 다루는 학문이라고 생각하나 사실 이는 실수와 복소수가 정말 완벽한 공간이기 때문에 당연히 관계되어 있는 것이고 한 마디로 정의하자면 함수에 대한 학문이라 할 수 있다. 다시 말해 여러 함수를 탐구함과 함께 이를 통해 다른 분야로의 응용을 추구하는 학문이라 할 수 있을 것이다. 물론 해석학 내의 개념에서는 다른 학문에서 출발한 것도 많이 있다. 예를 들면 유클리드 공리계에서는 점은 길이가 없는 선이라고 정의되어 있는데 후대 수학자들이 길이가 0인 점을 무한히 더하면 길이가 0보다 큰 선이 되는 것에 관심을 가진 것이 측도이론이 탄생한 배경이다. 물론 우리는 이제 그 질문의 답을 알고있다. (점들의)유한집합과 셀 수 있는 무한집합은 측도가 0이고 측도가 0보다 큰 집합은 셀 수 없는 무한집합이다.[10] 이 예로 유리수집합은 측도가 0이나 실수집합은 측도가 0보다 크다. 또한 타 분야에서 시작된 개념들이 해석학에서 발전된 것으로는 함수 해석학이 있는데, 함수 하나하나를 벡터로 본다는 시각은 선형대수학이 없었다면 나올 수 없었을 것이다.
말 그대로 미분방정식과 그 해법에 대해 연구하는 학문이다. 크게 상미분방정식과 편미분방정식으로 나누어지며, 수학의 여러 분야 뿐 아니라 타 학문에도 매우 응용이 많이 되는 분야다. 특히 물리학의 경우에는 미분방정식이 없으면 성립조차 안될 학문이라고 할 수 있다. 애초에 뉴턴의 운동 제 2법칙부터가 미분방정식이다. 또한 미분방정식의 등장으로 출현할 수 있었던 대표적인 수학 분야로 푸앵카레가 창시한 동역학계를 들 수 있는데, 이름을 보면 물리학의 특정 분야라고 생각할 수 있으나 경제학, 생명과학 등에서도 많이 응용되는 분야다.
  • 이산수학(KMO에서의 조합과 유사한 점이 많다.)
이산구조(discrete structure)에 관한 수학이다. 수학을 커다란 두 줄기로 양분하면 이산구조와 연속체 구조가 나온다. 이산구조와 연속체 구조는 일반적으로 '셀 수 있는 것' 과 '셀 수 없는 것' 정도로 구분하며 개중에 연구대상이 '셀 수 있는 오브젝트' 일 경우 보통 이산수학이라 칭한다. 이 '셀 수 있는 오브젝트' 는 다시 두 가지로 나뉘는데 '알고리즘적인 것' 과 '비알고리즘적인 것' 이 그것이다. 덕분에 컴공에서도 꽤 배운다.(고교 수준이지만)
일반적으로 이산수학의 한 범주로 넣는다. 특히 이산수학을 전산학적으로 다루는 경우에 가장 집중적으로 배우게 되는 것이 수치해석이다. 현대적인 컴퓨터를 비롯한 모든 계산장치는 유한 자릿수의 이산적인 수치만을 취급하기 때문에 그러한 것이다.
논리를 수학적 대상으로 환원하여 수학적 방법론으로 연구하며 그 응용인 집합론, 모델 이론, 카테고리 이론, 계산이론(혹은 재귀이론), 증명이론, 구성주의 수학 등을 포함한다. 일반적으로 수학에 포함시켜 이야기하지만 사실상 ZFC 집합론과 카테고리 이론 정도의 시스템 안에서 대부분이 이루어지는 수학에 비해 오만가지 형식적 시스템이 등장하고 수학을 이루는 형식적 시스템은 물론 형식적 시스템 일반을 대상으로 삼아 연구하는 터라 실제 타 수학과의 관련은 의외로 매우 적다. 오히려 메타수학 쪽에 가까운 학문으로 수학보다는 언어학, 철학, 컴퓨터과학 등 타 분야와 관련을 더 깊이 갖고 연구하는 경우가 많다. 일반적인 수학과 공유하는 부분은 수리논리 쪽에서 특정 수학분야 자체를 응용 대상으로 삼아 전개해나가는 경우, 예를 들면 호모토피 논리 등의 경우가 아니라면 형식논리, 집합론, 범주론 기초정도 약간에 역사적인 관점에서의 수학기초론 정도가 전부이다. 상대적으로 타 수학 분야 와의 관련성이 적으며 이쪽 분야 자체도 매우 크고 넓기 때문에 이쪽 관련 전공을 택할 경우 최대한 빠르게 시작하는 것이 좋다. 다만 한국 대학에서는 이 분야의 전공 교수진이 거의 없기 때문에[11] 맛보기 정도의 커리큘럼만 제공되는 것이 전부다. 따라서 집합론이나 수리논리학을 전공하고 싶다면 해외로 유학을 가거나 전공을 포기하는 수밖에 없다.
위의 수리논리학에 속하는 분야이지만 어째 수리논리학보다 더 유명하다(...) 아마도 모든 수학의 기본이 되는 집합의 개념을 배우는 학문이기 때문일 듯. 필요로 하는 수학적 사전지식이 매우 적고 타 수학 분야와 관련성도 비교적 적은 편임과 동시에 집합론 자체도 매우 큰 분야이기 때문에 해외의 경우 집합론을 전공분야로 정할 시 선형대수와 실해석의 쌩기초만 배운 후 이후부터는 석사 졸업 때까지 거의 수리논리와 집합론 과목만 들을 수 있는 대학도 있긴 하다. 물론 그만큼의 교수진이 받쳐 줘야 가능한 커리큘럼이다. 보통의 경우는 집합론을 전공으로 정하더라도 학부 말이나 석사쯤 간 다음에 논리학과 같이 묶어서 본격적으로 배우기 시작하는데 사실 이런 '기본 루트' 를 쫓아갈 경우 석사 졸업 때까지도 기초 수준을 벗어나기가 힘들기 때문에 상당한 수준의 독학이 요구된다. 보통 수학을 잘 모르는 이들은 '집합' 을 중학교부터 배운다고 무시하는 경우가 많은데 수학 분야 중 가장 추상적인 분야 중의 하나이며 도저히 상상 불가능한 '이상하고 복잡한' 집합들을 순수 논리에 의지해서 헤쳐나가야 하며 집합론 공리계 자체를 다루는 학문이기 때문에 사실 보통의 인간 직관이 가장 안 통하는 분야 중 하나라 '쉽다' 와는 당연히 거리가 매우 멀다.
일반적인 인식으로는 통계는 수학에서 가장 쓸모있고 실용적인 것이라고 하지만, 통계를 배운 사람들은 알겠지만(어느 쪽에 중점을 두는 학교에서 배웠느냐가 문제가 되겠지만) 수학이 포함되지 않는 부분들이 많다. 이것은 물리에서 미분이나 텐서, 군 등의 수학적인 부분이 있지만 물리학이 수학의 하위 학문이 아닌 것과도 유사하다. 수리물리학이라고 수학과 물리학의 공통된 부분이 있듯이, 통계 중에서도 수학과 관련된 부분은 수리통계학(Mathematical statistics)라 하여 통계학과 수학의 공통된 학문으로 구분한다.[12] 통계학은 귀납적인 부분이 매우 많은 학문으로, 연역논증의 대표주자인 수학과는 별개로 보는 경우가 많다. 통계학에서 수학은 처음에 기초 부분을 배울 때는 어느정도 필요하지만 그 이후에는 관련 분야를 선택하는 사람들만 수학적으로 더 파고 들어가 배우는 것이 일반적이다.
통계학의 분야로 넣기는 하는데 내용은 해석학에 가깝다. 이는 확률론이 기본적으로 측도론을 기반으로 하고 있기 때문. 특히 기하학적 확률을 다루면서 이런 특성이 두드러지게 나타난다.
수리모델링, 금융수학, 수리생물학 등이 있다. 자연과학, 공학, 금융, 경제, 등등 여러 분야의 논제들을 수학적으로 다루는 분야라 할 수 있겠다. 수학을 응용하여 다룰 수 있는 것들이 많으므로, 응용수학의 갈래도 많다.
고교에서 배웠던 미적분 이후로 미분방정식, 편미분 등 다양한 미적분을 다룬다.

위의 분류들은 아주 굵직한 분류들로 그 세부 분야까지 따지면 너무나 많은 수학들이 존재한다.

4.1 무엇을 수학이라 부르는가

옛 수학은 연구환경에선 사실상 다른 응용학문과 분리되어있지 않았기 때문에, 각각의 수리적 학문 분야도 수학에 포함되곤 했다. 고대 그리스에선 산술, 기하, 천문, 음악 등을 수학의 대표적인 분야로 보기도 했으며 산술, 기하, 조화라는 말이 각 산술, 기하, 음악에서 온 말이라는 데에서 그 흔적을 알 수 있다.

여튼 이 분류는 얼마 지나지 않아 산술, 대수학, 기하학 등으로 나뉘게 되었다. 이 분류 상에서는 수학의 정의를 수와 도형에 관한 학문으로 볼 수 있었다. 물론 그 후 좌표기하학이 만들어지고 미적분이 만들어지고 해석학이 만들어지며 수학은 몸집을 불리기 시작했다.

이 때 정립된 대표 분야가 바로 산술(정수론), 대수학, 해석학, 기하학, 그리고 여타 다른 응용수학이다. 이 분류는 현대의 수학까지도 의미를 지니고 있다. 하지만 다른 학문이랑 구별되는 수학만의 고유한 특징은 적절한 공리에서 연역법으로 만들어진 내용이면 뭐가 되었든 간에 수학으로 친다는 것. 다시 말하면 연역적이고 숫자가 들어간다면 다 수학이다. 이러한 특성 때문에 현대까지 쌓인 수학분야는 그 자체만으로도 방대하며, 그 방대한 수학 분야에서 일년에 약 200,000개의 새로운 정리가 튀어 나온다고 한다. 그 중 대부분의 수학자들은 그 넓은 분야에서 쥐꼬리만큼도 안되는 세부분야에서 놀고 있다.

4.2 수학의 분야 체계

  • MSC(Mathematics Subject Classification)
알파벳과 숫자를 혼용해서 Mathematical Reviews와 Zentralblatt MATH, 2개의 수학 데이터베이스에서 사용되는 분류체계다. 많은 학술지에서 사용되는 분류체계다. 자세한 사항은 MSC2010 참조.
  • DDC의 510 항목
  • LCC의 QA항목
  • KDC의 410항목
자세한 사항은 KDC 요목표 참조.

5 대학 교과과정

자세한 사항은 수학과 참조

5.1 학부

5.2 대학원

추가바람

6 수학자들

7 수학에 관련된 상

8 수학회

9 관련 캐릭터

천재적인 면이나 괴짜적인 면을 부각시키려는 의도 정도로 픽션상에서는 캐릭터의 취미라기보다는 달고 사는 것 정도로 종종 나오는 경우도 있다. 아래는 그 예시.

수학교사 캐릭터에 관해서는 수학교사 항목 참조.

10 수험 과목으로서의 수학

11 관련 문서

바보 같은 문서들(...)

12 관련 어록

Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit(수학의 본질은 그 자유로움에 있다).
- 게오르크 칸토어(Georg Cantor)
수학에는 왕도가 없다.[22]
- 유클리드
수학은 실로 굉장한 학문이네. 그리고 여러모로 우리에게 유용하네. 다만 장사꾼의 심정으로서가 아니라 철학자의 정신으로 숭상하게 되면 말이네.
- 소크라테스[23]

13 동음이의어

  • 修學 - 학문을 갈고 닦는다는 뜻.
대학수학능력시험의 수학이 이 수학이다. 문과생들이 주로 응시하는 수학A형의 경우 똑같이 만점을 받아도 국어 영어보다 표준점수가 30점은 더 높게 나오면서 수학영역의 비중이 너무 커지면서 이를 까는 의미를 담아 대학수학능력시험의 수학을 일반적인 수학의 뜻이라고도 한다.
수학여행의 수학도 이 뜻이다.
  • 受學 - 배움을 받다. 즉, 배웠다는 뜻.
한명의 스승으로부터 같이 배움을 받은 것을 '동문수학'이라고 한다.

13.1 만화 나루토에 나오는 미수 중 일미

수학(나루토) 항목 참조.
  1. ↑ 한마디로 수학자가 실제 적용하지 못할 숫자 장난으로 상상 자위를 하고 있을 때 물리학자는 그 수학을 적용하여 실제로 행하고 있다는 뜻.
  2. ↑ 아이러니한 사실은 어떠한 수학을 시작하기 위해서는 먼저 공리가 필요한데 이는 ‘제한’ 이 필요하다는 사실과 비슷하다. 즉 수학의 분야를 추가시키려면 제한을 추가해야 한다는 소리. 더욱 아이러니한 건 이 제한들을 조금만 바꿔도 또 다른 수학이 될 수 있으므로 제한을 가하는 방식 자체의 자유도 존재한다. 즉, 여기서도 칸토어의 명언이 적용된다.
  3. ↑ 더 일반적인 경우인 Gelfond–Schneider theorem은 1934년에 증명됨.
  4. ↑ 갓난아이 관중이 있었다면 흰머리 훌훌 날리는 할머니, 할아버지가 되었을 때 증명 소식을 들었을 수도 있다.
  5. ↑ 예를 들어, 미방을 풀면서 점 하나가 틀어질 경우, 물리학과 학생은 "점 하나정도 값에 영향도 안주는거 갖다버려" 하고 미방을 하는 반면, 수학과 학생은 "어? 점 하나가 안맞는데? xx 정리에 의해 해가 존재하지 않습니다." 라고 한다. 물론, 수학에서도 이런 식의 해를 정의할수는 있지만 weak solution 같은 다른 정의를 이용해야 가능하고, 이런건 보통 학부때는 다루지 않는다. 어려워서가 아니라 그게 필요한 경우가 별로 없기 때문. 다만 물리학 역시 깊이 파고들수록 방정식에서 틀어진 해가 나올 경우 이에 대해 고찰을 하게 되며, 대표적인 케이스가 반물질이다. 차라리 근사를 하면 모를까 멀쩡하게 나온 해를 갖다 버리지 않는다. 보통 물리학에서 틀어진 해를 갖다 버리는(...) 경우는 물리적으로 자명하게 옳지 않은 해라서 그것이 오직 수학 안에서만 가능한 해인 경우다. 가령 여러 개의 해 중 하나의 해의 정보 전달 속도가 c를 넘는다거나. 수학으로 치면 무연근과 비슷한 케이스.
  6. ↑ 다만, 복잡성에는 차이가 있다. 응용학문이 다 그렇지만, 목적 자체가 실생활에서의 응용이기때문에 더 쉽고 편리한 방법이 있다면 그쪽을 선호하며, 피치 못할 경우에만 복잡한 부분을 다룬다. 순수수학의 경우에는 반대로, 그 복잡다단한 것 자체에 대한 학문적 흥미가 메인 테마이기 때문에 오히려 복잡한걸 찾아다니는 경향이 없지않아 있다. 예를 들어 공과대학에서 배우는 과목인 공업수학과 수학과에서 배우는 과목인 해석학/미분방정식 등은 배우는 진도는 얼추 비슷할지 몰라도 각자의 전공에서 요구하는 수준과 뱡향에 맞게 최적화된 것이라 공과대학 학부생이 수학과에서 가르치는 과목들을 듣거나 수학과 학생이 공업수학을 듣는 것은 묘하게 차이가 많고 가르치는 방법도 다르다. 때문에 공대생들은 수학과생이 복수전공이나 타전공 대학원을 준비하는 차원에서 실전 적용능력을 기른답시고 공업수학 들으러 오면 학점헌터 아니냐며 츤츤거리기도 한다 카더라. 물론 공업수학과 수학과식 수학의 방향성 차이 때문에 꼭 수학과 학생들이 학점헌터가 되는 것은 아니다.
  7. ↑ 공부를 계속할 경제학과 학생의 경우 수학과 전공 수준의 선형대수학, 해석개론, 미분방정식, 실변수함수론, 수리통계 등을 이수하는 것이 일반적이다. 극단적인 경우는 모델링을 한답시고 물리학과 수업까지 듣는 경우도 있다. 그래서 수학과를 복수전공하는 경제학과 학생들도 종종 보인다. 수학과 대학원 실해석학을 듣는 경제학과 대학원생까지 있을 정도이니 말 다 했다.
  8. ↑ [1]
  9. ↑ curve(곡선), surface(곡면), polynomial equation(다항방정식으로 나타낼 수 있는 곡선, 곡면 등) 등이 이에 속한다.
  10. ↑ 역은 성립하지 않는다. 칸토어 집합은 셀 수 없는 무한집합이지만 측도가 0이다.
  11. ↑ 그나마 icm 최초의 동양인 수리논리학분야 초청강연자인 김병한 교수의 귀국과 한국수리논리학회의 발전등으로 인해 조금 숨통이 트여가고 있긴하다.
  12. ↑ 비슷한 예로 심리학도 이러한 논란이 많은 학문인데 한국에서는 문과로 분류하지만 뇌의학 같은 분야와의 관계를 많이 집어넣어 이과로 분류하는 국가/대학도 많다. 아니 한국에서도 국립중앙도서관에서는 심리학 도서가 자연과학 서가에 꽂혀있다. 통계학과가 문과로 편제된 고려대학교의 도서관에서도 통계학 서적을 자연과학 서적으로 분류한다.
  13. ↑ 개론에 가깝다.
  14. ↑ 개론에 가깝다. 수박 겉핡기 식으로 건드린다.
  15. ↑ 말만 거창하게 써놨지 실제로는 대학원 대수학의 개론 과목이다.
  16. ↑ 수학과나 수학교육과에선 더 치밀하게 배운다.
  17. ↑ 수학과나 수학교육과에서도 배우긴 하나 마이너하다. 그리고 학부때 배우는건 개론에 가깝다.
  18. ↑ 일단 직업은 수학자지만 별 관련은 없다.
  19. ↑ 일본 계산콘테스트 우승자, 공 각도계산부터 선수가 멈출 수 있는 위치까지 계산한다.(...)
  20. ↑ 수학은 신의 언어라며 칭송한다. 실제로 작중에 잠깐 지나가는 장면을 보면 정말 상당한 실력을 보유한듯.
  21. ↑ 공식 설정에 의하면 수학 천재. 실제로 대사를 보면 수식에 대한 말을 굉장히 많이 한다.
  22. ↑ 본래는 "기하학에 왕도가 없다"이다.
  23. ↑ 플라톤의 <국가론>에서 소크라테스가 한 말이므로 플라톤의 생각으로 봐도 무방하다.