비유클리드 기하학

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1 개요

유클리드가 집대성한 기하학은 5개의 공리로 이루어져 있는데,[1] 그 중 5번째것이 '평행선 공준'(또는 '평행선 공리')이라고 부르는 것이다.

5. 선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 단 하나 존재한다.[2]

유클리드의 평행선 공준

그런데, 이 평행선 공준이 성립하지 않는다고 가정하더라도 아무런 모순이 없다는 것이 증명되었다.출처필요(공리계 내부에서 모순이 있음을 공리계 스스로 증명할 수 없다는 괴델의 불완전성정리가 있다) 이로 인해서 새로운 기하학 분야가 생겨 났다.

2 쌍곡 기하학

영어로는 hyperbolic geometry 라고 부르며 '쌍곡 기하학' 또는 '쌍곡면 기하학'이라고 부른다.

선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 둘 이상 존재한다.

평행선이 둘 이상 존재한다고 가정하는 기하학인데, 일반적으로 평행선이 무한히 많이 존재한다고 가정한다. 두 선의 사이를 지나는 직선을 얼마든지 그릴 수 있는데, 이 선들도 모두 평행한 직선이 되기에, 무한히 많은 평행선이 존재하게 된다.

헝가리의 수학자 '보여이 야노시'와 러시아의 '니콜라이 로바쳅스키'에 발견되었고 체계화 되었다. 이들의 이름을 따서 '야노시-로바쳅스키 기하학'이라고도 부르기도 한다.

3 타원 기하학

선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 하나도 존재하지 않는다.

리만 가설로 유명한 수학자 베른하르트 리만에 의해서 체계화되었고, 리만의 이름을 붙혀 리만 기하학이라고도 널리 부른다. 리만 기하학에서는 평행선이 존재하지 않는다는 의미이며, 다시 말해서 리만 기하학에서는 임의의 두 직선은 무조건 만난다.

다만, 현대의 수학 체계에서는 '리만 기하학', '타원 기하학', '구면 기하학'이 지칭하는 것은 엄밀하게 따져보면 동일한 것은 아니다. 그러나, 수학전공자가 아니라면 그냥 같은 것이라고 이해해도 무방하다.

3.1 구면 기하학

구면 기하학은 타원 기하학의 한가지 특별한 형태이다. 기하학의 모델링은 구체의 표면상에서 구현되기에 '구면 기하학'이라고 부른다.

  • 점: 구의 표면상의 임의의 한점.[3]
  • 직선: 구의 표면상의 임의의 대원
  • 선분: 직선의 일부분

구면 기하학에서 삼각형의 내각의 합은 180도 보다 크다.

4 영향

비유클리드 기하학은 유클리드 기하학이 갖고 있던 절대적인 공리에 대한 믿음을 깨는 데에 큰 역할을 하게 되었다. 공리는 결국 구성하기 나름이며, 공리 자체가 항상 완전무결한 명제가 아니라는 것을 보여주었던 것이다. 이러한 사고 방식은 이후 힐베르트 등에 의한 수학기초론에 큰 영향을 주었다.

비유클리드 기하학(리만 기하학)은 상대성 이론, 특히 일반 상대성 이론의 전개에 큰 역할을 하였다. 아인슈타인은 일반 상대론에서 유도되는 시공간의 휘어짐을 수학적으로 설명하기 위해 리만 기하학을 활용하였다.
  1. 유클리드는 아무래도 이론적으로 세계를 가정했기 때문에 실제 현상과는 차이가 있었다. 대표적으로 삼각형의 내각의 합은 실제 측정에서 정확히 180도가 나오지 않는다. [1]
  2. 원래의 표현은 다르지만, 현대적인 해석에서는 이 표현을 더 많이 사용하고, 원래의 공준과 동치임도 증명되어 있다.
  3. 좀 더 엄밀히 말하면 그 한점과 구의 중심을 기준으로 대칭되는 위치에 있는 점의 쌍을 점으로 정의한다.