Möbius Transformation
뫼비우스의 띠로 유명한 독일의 수학자 아우구스트 뫼비우스(August Ferdinand Möbius)가 만들었다. 뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)의 다른 이름인 Möbius Transform과 헷갈리지 말자.
확장된 복소 평면(extended complex plane)을 [math]\overline{\mathbb{C}}[/math]으로 쓸 수 있고, 이를 [math]\mathbb{C} \cup \{ \infty \}[/math]로 정의하자. 여기서 [math]\mathbb{C}[/math]는 복소평면이다.[1][2] 이 때 뫼비우스 변환은 다음과 같은 형태를 가진다.
[math]f(z)= (az+b)/(cz+d)[/math] (이 때, [math]ad\neq bc[/math]이다.)
그리고 뫼비우스 변환은 확장된 복소 평면에서 복소수를 하나 가져와 다른 확장된 복소 평면으로 던지는, 즉 [math]f:\overline{\mathbb{C}}\rightarrow \overline{\mathbb{C}}[/math]인 사상이다.
베른하르트 리만(Bernhard Riemann)이 고안한 리만 구(Riemann Sphere)를 이용해 뫼비우스 변환은 동영상과 같이 시각화 될 수 있다. 뫼비우스 변환이 리만 구의 자기동형사상임을 잘 보여준다.- ↑ 참고로 복소평면이라는 말에 주의해야 한다. 1799년 노르웨이 수학자 카스파르 베셀(Caspar Wessel)이 복소수를 직교좌표(Cartesian coordinate)에 나타내었고, 그 방법의 기능적 훌륭함 덕분에 오랫동안 복소평면이라는 말이 내려온 것이지, 사실은 복소평면은 기하학적인 도형이 아니라 무한대를 제외한 모든 복소수가 포함된 집합으로 이해해야 한다.
- ↑ 즉, 복소수는 실수부와 허수부를 가질 뿐 실제로는 1개의 숫자다. 각종 풀이의 아이디어는 벡터에서 따올 수 있겠지만, 함부로 원소 2개인 벡터와 동일하게 취급해서는 안된다. 복소수의 곱셈 연산이 벡터와 다르기 때문이다. 물론 복소수도 에르미트 내적(Hermitian inner product)을 이용해 벡터처럼 비슷하게 내적을 할 수 있다.