방멱의 정리

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1 개요

한국의 수학 교육과정상 중학교 때 배우게 되는 기하학 정리. 다만 교과서에는 방멱의 정리라는 알아 듣기 힘든 이름 대신 원과 직선에 관한 정리라는 이름으로 배우게 된다. 여기서 방멱(方冪)이란, 어떤 한 점 [math]P[/math]를 지나는 직선이 어떤 원 [math]O[/math]와 만나는 점을 [math]A, B[/math]라 했을 때, 두 선분의 곱 [math]\overline{PA}\times\overline{PB}[/math]를 가리킨다. 방멱의 정리는 크게 3가지가 있다. 3가지 모두 평면기하학 관련 문제에서 의외로 자주 쓰이므로 잊어버리지 않도록 하자.

2 두 현에 대한 방멱

두 현 [math]\overline{AB},\overline{CD}[/math]의 교점을 [math]P[/math]라 하자. 그러면 [math]\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}[/math]가 성립한다.

증명

[math]\angle{ACP}=\angle{DBP}[/math] (호 [math]\overarc{AD}[/math]에 대한 원주각)
[math]\angle{CAP}=\angle{BDP}[/math] (호 [math]\overarc{BC}[/math]에 대한 원주각)
[math]\therefore\triangle{APC}\sim\triangle{DPB}[/math] (AA 닮음)
[math]\overline{PA}:\overline{PD}=\overline{PC}:\overline{PB}[/math]
[math]\therefore\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}[/math]

3 두 할선에 대한 방멱

두 할선 [math]\overleftrightarrow{AB},\overleftrightarrow{CD}[/math]의 교점을 [math]P[/math]라 하자. 그러면 [math]\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}[/math]가 성립한다.

증명

[math]\angle{PBC}=\angle{PDA}[/math] (호 [math]\overarc{AC}[/math]에 대한 원주각)
[math]\angle{BPD}[/math] 공통
[math]\therefore\triangle{PBC}\sim\triangle{PDA}[/math] (AA 닮음)
[math]\overline{PB}:\overline{PD}=\overline{PC}:\overline{PA}[/math]
[math]\therefore\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}[/math]

4 할선과 접선에 대한 방멱

할선 [math]\{AB}[/math]와 원 [math]O[/math]의 접선 [math]\{PT}[/math]가 점 [math]P[/math]에서 만난다고 하자. 그러면 [math]\{PA}\times\{PB}=\{PT}^2[/math]가 성립한다.

증명

[math]\angle{PTA}=\angle{PBT}[/math] (접현각)
[math]\angle{TPB}[/math] 공통
[math]\therefore\triangle{PTA}\sim\triangle{PBT}[/math] (AA 닮음)
[math]\overline{PT}:\overline{PB}=\overline{PA}:\overline{PT}[/math]
[math]\therefore\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PT}^2[/math]

5 방멱의 정리의 역

피타고라스 정리의 역과 비슷하게 방멱의 정리에도 역이 있다.

두 선분 [math]\overline{AB},\overline{CD}[/math] 혹은 그 연장선의 교점 [math]P[/math]에 대해서 [math]\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}[/math]가 성립하면 네 점 [math]A,B,C,D[/math]는 공원점이다.

증명은 의외로 간단한데, 위 식을 비례식으로 바꿔준 뒤, 두 삼각형이 닮음이란 것을 보이고, 원주각이 성립함을 보이면 끝.

6 관련 항목

• 원
• 닮음