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방멱의 정리

1 개요

한국의 수학 교육과정상 중학교 때 배우게 되는 기하학 정리. 다만 교과서에는 방멱의 정리라는 알아 듣기 힘든 이름 대신 원과 직선에 관한 정리라는 이름으로 배우게 된다. 여기서 방멱(方冪)이란, 어떤 한 점 P를 지나는 직선이 어떤 원 O와 만나는 점을 A,B라 했을 때, 두 선분의 곱 ¯PAׯPB를 가리킨다. 방멱의 정리는 크게 3가지가 있다. 3가지 모두 평면기하학 관련 문제에서 의외로 자주 쓰이므로 잊어버리지 않도록 하자.

2 두 현에 대한 방멱

파일:EZX9R8f.png

두 현 ¯AB,¯CD의 교점을 P라 하자. 그러면 ¯PAׯPB=¯PCׯPD가 성립한다.

증명

ACP=DBP (호 \overarcAD에 대한 원주각)
CAP=BDP (호 \overarcBC에 대한 원주각)
(AA 닮음)
\overline{PA}:\overline{PD}=\overline{PC}:\overline{PB}
\therefore\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}

3 두 할선에 대한 방멱

파일:H4YolBN.png

두 할선 \overleftrightarrow{AB},\overleftrightarrow{CD}의 교점을 P라 하자. 그러면 \overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}가 성립한다.

증명

\angle{PBC}=\angle{PDA} (호 \overarc{AC}에 대한 원주각)
\angle{BPD} 공통
\therefore\triangle{PBC}\sim\triangle{PDA} (AA 닮음)
\overline{PB}:\overline{PD}=\overline{PC}:\overline{PA}
\therefore\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}

4 할선과 접선에 대한 방멱

파일:ZKoGoCB.png

할선 \{AB}와 원 O의 접선 \{PT}가 점 P에서 만난다고 하자. 그러면 \{PA}\times\{PB}=\{PT}^2가 성립한다.

증명

\angle{PTA}=\angle{PBT} (접현각)
\angle{TPB} 공통
\therefore\triangle{PTA}\sim\triangle{PBT} (AA 닮음)
\overline{PT}:\overline{PB}=\overline{PA}:\overline{PT}
\therefore\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PT}^2

5 방멱의 정리의 역

피타고라스 정리의 역과 비슷하게 방멱의 정리에도 역이 있다.

두 선분 \overline{AB},\overline{CD} 혹은 그 연장선의 교점 P에 대해서 \overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}가 성립하면 네 점 A,B,C,D는 공원점이다.

증명은 의외로 간단한데, 위 식을 비례식으로 바꿔준 뒤, 두 삼각형닮음이란 것을 보이고,[1] 원주각이 성립함을 보이면 끝.

6 관련 항목

  1. 이동 P가 두 선분의 교점이냐 연장선의 교점이냐에 따라서 닮음인 삼각형이 달라진다.