삼각형

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다각형
변과 각의 개수123456789
이름일각형이각형삼각형사각형오각형육각형칠각형팔각형구각형
※ 회색으로 칠해져 있는 부분은 비유클리드 기하학에서만 존재.

1 개요

x60px[1]
Triangle

△

↑ 이것처럼 말 그대로 3개의 각(점)과 선분으로 이루어진 있는 다각형. 세모라고도 한다. 밑변을 위로 해 놓고 꼭짓점을 아래로 해 놓은 것(▽)은 역삼각형이라고 부른다.

세 각의 크기를 다 합하면 180˚이다. [2]

유클리드 기하학에 따르면 다각형은 삼각형부터 가능하기 때문에[3] 다각형 중 가장 단순한 모양의 다각형이라 할 수 있다.
이 단순한 모양으로 인해 세 변의 길이만 서로 다 똑같아도 필연적으로 세 각의 크기 또한 모두 60˚로 같아져 무조건 정삼각형이 되고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다.
만일 두 삼각형의 각의 크기가 모두 똑같다면 그 두 삼각형은 닮음이 성립하고 변의 길이가 모두 똑같다면 합동이 성립된다.

그리고 다각형 중에서 원에 필연적으로 내접하거나 외접하는 유일한 다각형이다. 또한, 세 각의 합이 180˚이므로 오목삼각형은 존재할 수 없고 오로지 볼록삼각형만 존재할 수 있다.

2 오심(五心)

삼각형에는 중심이 5가지(무게중심, 수심, 내심, 외심, 방심)가 존재하는데, 이를 오심(五心)이라 한다.

3 삼각형의 종류

  • 일반적인 삼각형 : 유클리드 기하학에 속하는 모든 삼각형을 의미한다. 여기서 세 변의 길이 중 두 변의 길이가 같다면 이등변삼각형이고, 세 변의 길이가 다 제각각이면 부등변삼각형이 된다.
    • 이등변삼각형 : 양 변의 길이가 같은 삼각형이다. 이 경우 다른 한 변 끝의 양 각의 크기 또한 같아지게 된다. 원뿔을 회전축 따라서 세로로 잘랐을 때 그 단면이기도 하다.(이 때 그 회전축은 밑변의 수직이등분선이 된다) 밑변의 수직이등분선은 길이가 같은 양 변이 만나는 꼭짓점과 만나게 되고 또 그 선은 선형 대칭의 축이 되기도 한다. 내심, 외심, 수심, 무게중심이 모두 이 선 위에 있기도 하다. 삼각형 바깥으로 연장하면 방심 하나와도 만난다.
      • 정삼각형 : 세 변의 길이와 세 각의 크기가 모두 같은 삼각형이다. 물론 정삼각형도 서로 길이가 같은 변이 존재하여 이등변삼각형의 특징을 똑같이 가지고 있기 때문에 이등변삼각형에 속한다. 또한 내심, 외심, 수심, 무게중심이 모두 동일한 위치에 존재하는 유일한 삼각형이다. 슐레플리 부호는 {3}.
      • 직각이등변삼각형
      • 둔각이등변삼각형
    • 직각삼각형 : 세 각 중 한 각의 크기가 직각(90˚)인 삼각형이다. 이 모양을 하고 있는 물건은 대표적으로 삼각자가 있다. 피타고라스의 정리[4]가 적용되는 꼴이다.
      • 직각이등변삼각형 : 직각삼각형이면서 동시에 이등변삼각형인 삼각형이다. 이 경우에는 필연적으로 직각과 마주보는 변 끝의 양각이 반직각(45˚)이 된다. 그렇기 때문에 정삼각형과 마찬가지로 모든 직각이등변삼각형은 닮음이 된다.
    • 둔각삼각형 : 한 각의 크기가 직각을 넘어가는 삼각형이다. 이 성질을 띤 삼각형 중에서도 이등변삼각형이 있을 수는 있으나 직각삼각형은 있을 수 없다.(둔각과 직각을 합치면 삼각형의 세 각 합인 180˚를 넘어가 버리기 때문이다.)
      • 둔각이등변삼각형
    • 예각삼각형 : 세각이 모두 직각보다 작은 삼각형이다. 이 삼각형에 정삼각형이 포함된다.

보는바와같이 웬만한 삼각형엔 다 이름이 붙어있기 때문에 정말 이름없는 평범한 삼각형 만들기가 오히려 힘들다(...) 아무 특징 없는 평범한 삼각형을 작도하는 법에 관해 연구한 학자도 있을 정도.

자크 루브찬스키가 고안한 가장 간단한 이름 없는 삼각형은 다음과 같이 그릴 수 있다.

  1. 정삼각형 하나를 그린다.
  2. 한 꼭짓점에서 대변(對邊)으로 수선을 내리면 2등분이 되는데, 그 중 하나를 버린다.
  3. 2번에서 나온 직각삼각형의 길이가 중간인 변을 짧은 변으로 하는 직각이등변삼각형을 덧붙여 그린다.
  4. 각도가 45도, 60도, 75도인 정말 이름 없는 삼각형이 나온다. 참 쉽죠?

애초에 부등변삼각형이 있어서 못만든다[5]

4 작도하기

정삼각형의 작도는 매우 간단하다. 선분 하나만 긋고 지름이 그 선분 길이와 똑같이 되도록 컴퍼스를 조절한 후 꼭짓점이 될 양 끝을 다른 한 꼭짓점이 될 부분에 호를 하나씩 긋는다. 그리고 두 호가 서로 교차하는 점을 처음 그은 선분의 양 끝과 연결하면 정삼각형이 된다.

같은 방법으로 이등변삼각형이되 정삼각형은 아닌 삼각형도 작도할 수 있다. 컴퍼스의 지름을 처음 선분 길이와 다르게 조절하면 된다. 물론 양 끝을 중심으로 하는 두 호의 길이는 서로 같아야 한다.

직각삼각형의 경우, 세 각의 비가 3:2:1(90˚:60˚:30˚)인 직각삼각형은 정삼각형을 먼저 작도한 후 한 변을 이등분하여 마주보는 각과 수직이등분선으로 연결하면 되고, 직각이등변삼각형은 정사각형을 먼저 작도한 후 대각선을 따라 둘로 나누면 된다.

임의의 각을 삼등분하는 문제는 작도할 수 없는 3가지 문제에 속하지만, 직각은 삼등분이 가능하다.[6] 먼저 직각을 끼고 있는 두 선 중 한 선을 이용해서 정삼각형을 작도하면(길이는 관계 없다), 직각이 30˚:60˚도로 나뉜다. 그러면 원래 직각 자리와 마주보고 있는 변을 이등분해서 수직이등분선을 그리면(아니면 그냥 임의의 각을 이등분하는 방법으로 60˚를 이등분하거나 다른 쪽에 똑같이 정삼각형을 작도해도 된다) 자연스럽게 나머지 60˚도 이등분되어 직각이 30˚:30˚:30˚로 됨으로써 삼등분이 된다.

5 특수문자

삼각형은 그림문자로 쓰이기도 한다. 흔히 쓰이는 삼각형 문자는 정삼각형(폰트에 따라 그냥 이등변삼각형으로 표시되기도 한다.) 모양의 문자이며, 상하좌우를 향하고 있는 모양(△▽◁▷)이 있고 속이 빈 모양과 칠해진 모양(△▲)이 있다.

주가에선 상승의 뜻인데 묘하게 회계(재무제표, 은행, 공문 등)쪽에선 마이너스의 뜻으로 쓴다. 그 이유는 일반적으로 음수를 나타낼 때 쓰는 -를 쓰면 위조의 위험성이 있어서이며 한자 숫자의 갖은자와 비슷한 경우이다. 하지만 이렇게 해도 헷갈리는 경우가 많아 상승의 뜻으로 쓰일 때는 빨갛게 쓰거나 칠해진 모양의 것을 쓰고, 음수의 뜻으로 쓰일 때는 괄호 안에 넣는 것으로 대신하기도 한다.

일반적인 경우는 하락, 마이너스의 뜻으로 쓰인다. 이 경우는 검은색으로 쓴다. 단, 역삼각형을 쓰는 경우도 있는데, 이 때에는 파란 글씨로 쓰는게 불문율이다. 아래 표기는 모두 같다.
△ 2,200
(2,200)
▽ 2,200
▼ 2,200

단 삼각형을 상승, 플러스 등으로 사용할 때는 다음과 같이 붉은 글씨로 쓴다. 역시 아래 표기는 같은 표기이다.
2,200
▲ 2,200
△ 2,200

△는 O와 X 외의 제3의 기호로 쓰이기도 한다. 보통은 O와 X의 중립적 의미를 갖는 경우가 많다. 예를 들어, 스포츠 경기에서 승리한 경기를 O로 표시하고 패배한 경기를 X로 표시한다면 무승부는 △로 표시하는 식이다.

플레이스테이션의 패드 오른쪽 4버튼에 그려진 4개의 기호 중 하나이기도 하다. △는 위쪽에 있으며, 왼쪽과 오른쪽은 □와 O, 아래쪽은 X이다.
[math]\rho\left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla\vec{v}\right)=-\nabla p+\mu\nabla^{2}\vec{v}+\vec{f}+\left(\frac{1}{3}\mu+\zeta\right)\nabla\left(\nabla\cdot\vec{v}\right)[/math]
[math]\Delta f=\frac{\partial^{2}f}{\partial r^{2}}+\frac{N-1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\Delta_{S^{N-1}}f[/math]
이과의 경우 미분방정식에서 꽤 자주 보는데, 여기서 역삼각형을 델 또는 나블라라고 하며, 똑바로 된 삼각형은 라플라시안이라고 한다. 이거 말고 이것이 뭔지는 델, 라플라시안 문서 참조.

6 관련 문서

7 삼각형 관련

8 삼각형은 가장 단단한 도형?

한강 위의 다리, 체육관 지붕 등 우리 주변에는 삼각형으로 짜 맞춘 구조물이 많다. 이처럼 보통 건축물의 뼈대가 되는 철골(빔)은 거의 삼각형 모양이다. 삼각형 외에 다른 모양으로 만든 구조물에 큰 힘이 가해지면 철골 자체가 부러지지 않더라도 연결 부위가 움직여서 큰 변형이 일어날 수 있다. 하지만 삼각형은 세 변의 길이가 바뀌지 않는 한, 외부 힘에 의한 모양 변형이 거의 일어나지 않는다. 그렇기에 무너지면 초대형사고가 일어나는 대교나 지붕등의 철골 구조를 삼각형 모양으로 만드는 것이다.

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삼각형의 성질을 이용해 만들어진 지오데식 돔. 구와 흡사한 다면체이면서 모든 면이 삼각형이므로 매우 안정된 구조이다.
  1. ↑ 사진의 삼각형은 Diep.io의 삼각형
  2. ↑ 단, 이는 평면 위에서만 성립하며 곡면상에 위치한 삼각형은 180˚보다 클 수도, 작을 수도 있다. 다르게 말하면 삼각형 세 각의 합이 180˚가 되지 않는 면은 평면이 아니라는 것. 예를 들어 지구본에서 적도와 경도 0도 및 90도 선으로 만들어지는 삼각형은 세 각이 각각 90도로 합이 270도다.
  3. ↑ 이 역시도 평면 위에서 성립한다. 곡면의 경우 이각형이나 일각형도 가능하다. 좋은 예로 지구본 위의 경도선을 두 개 고르면 그 사이에 이각형이 생긴다.
  4. ↑ 직각과 마주보는 변의 길이를 제곱한 값은 다른 두 변의 길이를 하나씩 제곱하여 합한 값과 같다. 예를 들어, 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 3(√9)과 4(√16)일 경우 빗변의 길이는 5(√25)이다.
  5. ↑ 不等邊三角形, 세 변의 길이가 모두 다른 삼각형을 말한다.
  6. ↑ 단, 그 각이 직각이라는 사실을 알고 있다는 것을 전제로 한다.