Gamma function.
1 개요
계승#s-2(factorial) 함수는 오로지 자연수만을 정의역으로 가지는 함수였다. 그러나 일반화[1]를 너무나 좋아하시는 수학자들이 계승 함수의 정의역을 복소수 체계로 확장해서 새로운 함수를 만들었는데, 이를 감마 함수라고 부른다.
불완전 감마 함수에서 b=0인 경우에 해당한다.
감마 함수와 같이 특수 함수로 묶이는 함수들은 정의가 접근방향에 따라 여러 가지며, 정의는 '계승 함수의 성질을 그대로 가지면서 0보다 큰 영역에서 그래프가 아래로 볼록한 꼴인 함수'이며, 이걸 만족하는 함수꼴은 다음과 같다.
| 적분꼴 [2] | [math]\Gamma(z) =\displaystyle\int_{ 0 }^{ \infty }{ x^{ z - 1 } e^{ -x } dx} [/math] |
| 단순항꼴 | [math]\Gamma(z) =\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n!n^z}{z(z+1)(z+2)...(z+n)} [/math] |
| 바이어슈트라우스꼴 | [math] \Gamma(z) =\displaystyle\frac{1}{z}e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^{\infty} (1+\frac{z}{n})^{-1}e^{\frac{z}{n}} [/math] |
그렇게 안보이지만 저 셋은 서로가 서로를 유도할 수 있는 동치관계다. [math]\prod[/math]는 계속 곱해나가라는 뜻이고, [math]\gamma = 0.577216...[/math]인 오일러-마스케로니 상수[3][4]다.
2 성질
감마 함수는 계승 함수의 상위 호환격 함수이기 때문에, 계승 함수의 성질을 가지고 있다.
[math] \Gamma(n + 1) = n! [/math][math] \Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) [/math]
[math] \Gamma(1) = 1 [/math]
다만 [math]0[/math]과 [math]1[/math] 사이의 계산에는 감마 함수의 정의에 있는 적분을 계산해야 하며, 음수로 가면 더욱 골치아파진다.[5] 아래 그래프에도 나와 있겠지만 양이 아닌 정수에서는 감마 함수가 정의되지 않는데, 이는 [math] ( -1 )! \times 0 = 0! [/math]을 만족하는 [math] ( -1 )! [/math]의 값을 찾을 수 없기 때문이다.[6] [math] ( -1 )! [/math]이 없으므로 당연히 그보다 작은 정수의 계승을 생각할 수 있을 리가...
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[math] [-5, 5] [/math] 범위의 감마 함수 그래프
예를 들어, [math] \Gamma ( 1 + 3 ) = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 [/math], [math] \Gamma ( 1 + 5 ) = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 [/math]으로 양의 정수를 넣었을 때는 모두 양의 정수이지만, 소수인 [math] \Gamma ( 1 + 1.5 ) = 1.5!= \frac{3}{4}\Gamma ( \frac{ 1 }{ 2 } )=\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\approx 1.32934[/math] 라는 무리수가 된다.
[math]i!=\Gamma(1+i)\approx 0.4980-0.1549i[/math]
복소수에 대한 감마 함수는 이렇게 정의된다. 오일러의 공식에서 유도할 수 있다.
정규분포나 제타함수와도 관련이 있다. 변수를 치환하거나 특정 연산을 취하면 결과로 튀어나온다.
2.1 반사 공식
[math]\Gamma ( z )\Gamma ( 1-z )=\displaystyle\frac{\pi }{\sin z\pi }[/math]
[math] z = \frac{1}{2}[/math]을 기준으로 반사시켜서 나오게 된 이름이다. 유도하는 과정은 복소적분을 이용하면 된다
2.2 르장드르의 2배 공식
[math]\Gamma ( 2z )=\displaystyle\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi }} \Gamma ( z )\Gamma ( z+\frac{1}{2} )[/math]
말 그대로 2배 공식이다. 마치 삼각함수의 배각공식과 비슷한 맥락이라 생각하면 된다.
2.3 스털링 공식
감마 함수 자체는 기본적인 초등함수로 나타낼 수 없지만, 만일 z의 값이 커질 경우 다음과 같은 형태로 근사시킬 수 있다.
- [math]\Gamma ( z+1 )\sim \sqrt{2\pi }z^{z+1/2}e^{-z}[/math]
- ↑ 이는 어찌 보면 당연하다. 그래프를 그려 수열의 흐름을 한눈에 볼 수 있어야 하니까.
- ↑ 적분꼴은 z의 실수부가 양수일때만 수렴하는 이상적분이나, 밑의 두 식은 z가 0도 음의 정수도 아니면 무조건 수렴한다.
- ↑ 간단히 말하면 1/x 함수 아래의 넓이와 직사각형들 넓이의 합의 차다.
- ↑ 참고로 이 상수가 유리수인지 무리수인지는 아직도 밝혀지지 않았다.
- ↑ 음수의 감마 함수 그래프는 [math]1[/math] 간격으로 종유석과 석순을 교대로 그린다고 생각하면 된다.
- ↑ 좌변은 [math]0[/math], 우변은 [math]1[/math]이므로 얄짤없이 모순.