베타 함수

1 개요

특수함수의 일종. 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle B \left( p,\,q \right) = \int_{0}^{1}x^{p-1} \left( 1-x \right )^{q-1}dx$

여기서 $p,q\gt0$ 이다.

베타 함수는 이항계수를 실수 범위로 확장한 것이라 할 수 있다.

$\displaystyle B(p, q) = \frac{q-1}{p+q-1} B(p, q-1)$
$\displaystyle B(n-k+1, k+1) = \left[ (n+1) {n \choose k } \right]^{-1}$

$x$ 를 삼각함수로 치환하면 다음과 같은 꼴이 나온다.

$\displaystyle B \left ( p,\,q \right )=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left (\sin\theta \right )^{2p-1}\left (\cos\theta \right )^{2q-1}d\theta$

즉, 삼각 함수의 적분을 유용하게 나타샐 수 있는 수단이 된다.

또한 다음과 같이 감마 함수를 이용하여 정의할 수도 있다.

$\displaystyle B\left ( p,\,q \right )=\frac{\Gamma \left ( p \right )\Gamma \left ( q \right )}{\Gamma (p+q)}$

한편, 베타함수의 두 변수끼리는 교환이 가능하다. 즉,

$\displaystyle B\left ( p,\,q \right )=B\left ( q,\,p \right )$

이 성립한다. 이는 첫 번째 식에서 $x$ 를 $1-x$ 로 치환적분하면 바로 나온다.

특수한 경우로 $p+q=1$ 을 만족한다면 아래와 같이 나온다.

$\displaystyle B(p, 1-p) = \frac{\pi}{\sin p\pi}$

이것은 베타함수를 감마함수로만 바꾸면 금방 증명된다