초월함수

1 설명

초월함수란 일반적인 대수함수를 '초월'하는 함수를 의미한다. 대표적으로 지수함수 및 로그함수, 삼각함수가 존재한다. 함수계의 최종보스...는 페이크고 이 범위까지가 흔히들 일컫는 초등함수. 초등학생이 배우는 함수라 생각하면 곤란하다. 물론 초등함수 따위 초딩때 다 배우고 중학생이 되서 초월함수 배우는 사람도 있긴 하다. 이 위로는 본격적인 특수함수가 있고, 감마 함수는 이 단계의 입문 정도에 불과하며 감마함수 위로도 복잡한 함수들이 수도 없이 존재한다.

대부분의 초월함수가 정의 자체에 미적분이 들어가 있으며, 이 때문에 대수적으로는 전개할 수 없는 것이다.

몇몇 특수 함수들은 물리학이나 공학에서 등장하는 주요 미분방정식 및 적분방정식을 풀었을 때의 해에 해당하기 때문에 중요하게 다루어지기도 한다. 대표적으로 베셀의 미분 방정식 [math]x^2 y'' + xy' + \left(x^2-n^2\right)y=0[/math] 을 풀었을 때 나오는 베셀 함수가 그 예이다. 이 함수는 원통좌표계가 들어간 물리현상이면 거의 무조건이라고 해도 좋다 싶을 정도로 등장하여 이공계 대학생들을 고통받게 하는 존재. 특수한 경우가 아니면 일반적인 초등함수로 나타내어 질 수 없기에 배우는데 매우 빡치지만난해하지만 삼각함수의 성질 만큼이나 다양한 성질들을 가지고 있으며 활용되는 곳도 많다. 이공계 대학생이라면 기초 미적분학에서 쌍곡함수를 만나고, 감마 함수, 베셀 함수, 르장드르 함수 정도는 공업수학, 수리물리학이나 각종 전공에서 심심치 않게 만난다. 미분방정식을 공부하면서 이들을 자세히 배우게 되니 잘 익혀두도록 하자.

2 초월함수/특수함수들의 목록

• 삼각함수
• 지수함수
• 로그함수
• 쌍곡선함수
• 감마 함수
• 베타 함수
• 제타 함수
• 타원 적분
• 르장드르 함수, 버금 르장드르 함수, 구면 조화 함수
• 베셀 함수, 노이만 함수(제 2종 베셀 함수), 한켈 함수(제 3종 베셀 함수), 수정 베셀 함수, 구면 베셀 함수, ...
• 오차함수

[math]\displaystyle \mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt [/math]

[math]\displaystyle \mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty }e^{-t^{2}}dt [/math]
[math]\displaystyle \mathrm{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt [/math]

• 지수 적분(Exponential Integral)

[math]\displaystyle \mathrm{Ei}(x)= - \int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt [/math]

• 로그 적분(Logarithmic Integral)

[math]\displaystyle \mathrm{li}(x)= \int_{0}^{x}\frac{dt}{\ln t} [/math]

• 코사인/사인 적분(Cosine and Sine Integrals)

[math]\displaystyle \mathrm{Ci}(x)=-\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}dt [/math]

[math]\displaystyle \mathrm{Si}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}dt [/math]

• 에르미트 함수(Hermite Functions)

[math]H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\left(\frac{d}{dx}\right)^{n}e^{-x^{2}}[/math]

[math]H_{0}(x)=1[/math]
[math]H_{1}(x)=2x[/math]
[math]H_{2}(x)=4x^{2}-2[/math]
[math]H_{3}(x)=8x^{3}-12x[/math]
[math]H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12[/math]
[math]...[/math]

주로 양자역학에서 단순 조화 진동자 문제를 풀었을 때 튀어나오는 놈이다.

• 라게르 함수(Laguerre Functions)

[math]\displaystyle L_{n}(x)=\frac{e^{x}}{n!}\left(\frac{d}{dx}\right)^{n}\left(x^{n}e^{x}\right)[/math]

[math]L_{0}(x)=1[/math]
[math]L_{1}(x)=-x+1[/math]
[math]2L_{2}(x)=x^{2}-4x+2[/math]
[math]6L_{3}(x)=-x^{3}+9x^{2}-18x+6[/math]
[math]24L_{4}(x)=x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24[/math]
[math]...[/math]

• 연관 라게르 함수(Associated Laguerre Functions)

[math]\displaystyle L_{n}^{k}(x)=(-1)^{n}\left(\frac{d}{dx}\right)^{k}L_{n+k}\left(x\right)[/math]

수소 원자의 슈뢰딩거 방정식을 풀었을 때 반지름 방향의 해에서 나타난다.

• Chebyshev Functions

[math]\displaystyle T_{n}(x)=\frac{\left ( -1 \right )^{n}\left ( 1-x^{2} \right )^{1/2}}{\left ( 2n-1 \right )!!}\left ( \frac{d}{dx} \right )^{n}\left ( 1-x^{2} \right )^{n-1/2}[/math]

[math]\displaystyle U_{n}(x)=\frac{\left ( -1 \right )^{n}\left ( n+1 \right )}{\left ( 2n+1 \right )!!\left ( 1-x^{2} \right )^{1/2}}\left ( \frac{d}{dx} \right )^{n}\left ( 1-x^{2} \right )^{n+1/2}[/math]

• Hypergeometric Functions
• Whittaker Functions
• Mathieu functions
• Airy functions

... 더 이상의 자세한 설명은 생략한다. 위 함수들에 대한 이론이나 적용은 관련 서적을 참고하기 바란다. 아니면 용자들의 적극적인 추가바람.