벨의 부등식

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설명

1964년 존 스튜어트 벨(John Stewart Bell, 1928 – 1990)이 발표한 부등식. 국소적(local) 숨은 변수 이론이 존재한다면 이들의 관측값이 만족해야 할 부등식이다. EPR에서 논의된 내용을 확장해서 연구하는 중에 발견되었다. 원래의 벨의 논문[1]에 따르면 다음과 같다.

[math]\left | \bar{P} (a, b) - \bar{P}(a, c) \right | \le 1+ \bar{P}(b, c) +\epsilon +\delta[/math]

이때 [math]\bar{P}[/math]는 두 특정 사이의 상관함수이고 a,b, 그리고 c는 임의의 측정 세팅을 결정하는 변수이다. 일반적으로, 두 스핀을 가지고 실험할때는 에서는 스핀의 측정 방향이라고 생각하면 된다.

1969년 존 클라우저(John Clauser)등이 이를 더욱 일반화한 버전으로 다시 표현하고 벨 부등식을 검증할 실험을 설계했다. 그들의 논문[2]에 따르면 벨의 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math]\left | R (a,b) - R(a,c) \right | \le 1+R(b^\prime, b)+R(b^\prime,c)-R_1-R_2\le 0[/math]

여기서도 a, b, a' 그리고 b'은 측정에 관련된 변수이다. 가장 일반적으로 많이 쓰이는 부등식이다.

베르너와 볼프[3], 그리고 그와 독립적으로 주코브스키와 브루크너[4]는 벨의 부등식을 2개의 검출기 대신 N개의 검출기로 일반화한 다음의 부등식을 유도했다.

[math]\displaystyle \left | \sum_{s_{1},...,s_{N}=-1,1} S(s_1,...,s_N) \sum_{k_1,...,k_N=1,2} s_1^{k_1-1}\cdots s_N^{k_N-1}E(k_1,...,k_N)\right | \le 2^N[/math]

이 뿐만 아니라 많은 확장된 벨 부등식이 발견되고 있다. 일반적으로 고전적으로 측정결과를 기술 할 수 있는 분리가능한(separable) 양자상태들은 만족시키지만, 그 외의 양자상태는 깰 수 있는 선형 부등식의 형태를 벨 부등식이라고 한다.

일반적으로 얽혀있는 상태와 비국소적인 상태를 동의어로 쓰는 경우가 많지만, 이는 잘못된 것이다. 비국소적인 상태, 즉 벨 부등식을 어기는 상태는 모두 얽혀 있지만, 얽혀있는 모든 상태가 벨 부등식을 어기는건 아니기 때문이다. 현대 양자 이론에서 많이 논의되고 있는 문제중 하나가 이러한 벨 부등식을 깨는 상태와 얽혀있는 상태가 얼마나 다른지 알아보는 것이다. 더 자세하게 알고싶은 전공자는 RMP 리뷰논문을 참고.
  1. ↑ J. S. Bell, Physics 1, 195 (1964).
  2. ↑ J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony and R. Holt, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969).
  3. ↑ R. F. Werner and M. M. Wolf, Phys. Rev. A 64, 032112 (2001).
  4. ↑ M. Zukowski, C. Brukner, Phys. Rev. Lett. 88 210401 (2002).