벨의 부등식

설명

1964년 존 스튜어트 벨(John Stewart Bell, 1928 – 1990)이 발표한 부등식. 국소적(local) 숨은 변수 이론이 존재한다면 이들의 관측값이 만족해야 할 부등식이다. EPR에서 논의된 내용을 확장해서 연구하는 중에 발견되었다. 원래의 벨의 논문에 따르면 다음과 같다.

$$\left | \bar{P} (a, b) - \bar{P}(a, c) \right | \le 1+ \bar{P}(b, c) +\epsilon +\delta$$

이때

$$\bar{P}$$ 는 두 특정 사이의 상관함수이고 a,b, 그리고 c는 임의의 측정 세팅을 결정하는 변수이다. 일반적으로, 두 스핀을 가지고 실험할때는 에서는 스핀의 측정 방향이라고 생각하면 된다.

1969년 존 클라우저(John Clauser)등이 이를 더욱 일반화한 버전으로 다시 표현하고 벨 부등식을 검증할 실험을 설계했다. 그들의 논문에 따르면 벨의 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\left | R (a,b) - R(a,c) \right | \le 1+R(b^\prime, b)+R(b^\prime,c)-R_1-R_2\le 0$$

여기서도 a, b, a' 그리고 b'은 측정에 관련된 변수이다. 가장 일반적으로 많이 쓰이는 부등식이다.

베르너와 볼프, 그리고 그와 독립적으로 주코브스키와 브루크너는 벨의 부등식을 2개의 검출기 대신 N개의 검출기로 일반화한 다음의 부등식을 유도했다.

$$\displaystyle \left | \sum_{s_{1},...,s_{N}=-1,1} S(s_1,...,s_N) \sum_{k_1,...,k_N=1,2} s_1^{k_1-1}\cdots s_N^{k_N-1}E(k_1,...,k_N)\right | \le 2^N$$

이 뿐만 아니라 많은 확장된 벨 부등식이 발견되고 있다. 일반적으로 고전적으로 측정결과를 기술 할 수 있는 분리가능한(separable) 양자상태들은 만족시키지만, 그 외의 양자상태는 깰 수 있는 선형 부등식의 형태를 벨 부등식이라고 한다.

일반적으로 얽혀있는 상태와 비국소적인 상태를 동의어로 쓰는 경우가 많지만, 이는 잘못된 것이다. 비국소적인 상태, 즉 벨 부등식을 어기는 상태는 모두 얽혀 있지만, 얽혀있는 모든 상태가 벨 부등식을 어기는건 아니기 때문이다. 현대 양자 이론에서 많이 논의되고 있는 문제중 하나가 이러한 벨 부등식을 깨는 상태와 얽혀있는 상태가 얼마나 다른지 알아보는 것이다. 더 자세하게 알고싶은 전공자는 RMP 리뷰논문을 참고.