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Bell number
1 개요
집합을 분할하는 방법의 수로, 원소의 개수가 n인 집합을 분할하는 방법의 수는 n번째 벨 수라고 하며 [math] B_n [/math]으로 나타낸다.
1930년대 이를 연구한 영국의 수학자 에릭 템플 벨의 이름을 따왔다.
2 성질
- 처음 몇개의 벨 수를 0번째 부터 적으면 다음과 같다. 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147
- 제2종 스털링 수 [math] S(n, k) [/math]를 이용해 나타내면 [math] \displaystyle B_n = \sum_{k=0}^{n}S(n, k)[/math]
- [math] B_n [/math]은 다음과 같은 점화식을 만족한다. [math]\displaystyle B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}B_k [/math]
집합 [math] \left\{1, 2, \cdots , n+1\right\} [/math]를 분할한다고 하자. 이때 각각의 분할에서는 1을 원소로 갖는 집합이 있을 것이다. 1을 원소로 갖는 집합의 원소의 개수가 k가 되도록 분할하는 경우의 수는 [math]\displaystyle \binom{n}{k-1} B_{n+1-k} [/math]임을 알 수 있다. k는 1부터 n+1까지의 값을 취할 수 있고 k가 다른 값을 취할 때 중복되는 경우는 없으므로 합의 법칙에 의하여 [math]\displaystyle B_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}B_{n+1-k} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}B_k [/math]