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복소평면

1 개요

복소 평면은, 복소수의 집합 C를 좌표평면R2에 나타내어 복소수를 직관적으로 이해할 수 있게 만든 도구이다.

2 평면과 복소수의 대응법

복소수와 좌표평면의 점을 일대일로 대응시킬 수 있다. 예를들어 x+yi(x,y)에 대응시키면 이는 일대일 대응이되고 벡터공간 구조를 보존해준다.

i(0,1)에, 1(1,0)에 대응되기 때문에, x축을 실수축, y축을 허수축이라 부른다.

3 덧셈 관련

3.1 덧셈의 기하적 표현

언급했듯이, 벡터공간의 성질을 유지하며 CR2를 대응시켰기 때문에, 두 복소수의 덧셈은 복소평면에서 두 벡터의 덧셈이 된다.

3.2 켤레

복소수 z의 켤레복소수 ¯zz의 x축 대칭이다.

3.3 실수, 순허수

실수와 순허수는 각각 x축과 y축 위에 있다.

4 곱셈

4.1 극분해(polar decomposition)

복소수 z:=x+yi(x, y는 실수)에 대해, r:=x2+y20는 실수이다. z/r=c+si(c=x/r, s=y/r는 실수)라 할 때, |z/r|2=c2+s2=1이다. 따라서 실수 θ가 존재하여 c=cosθ, s=sinθ이다. 여기에 eiθ=cosθ+isinθ를 적용하면 z=reθi를 얻는다. 여기서, r0z 사이의 거리, θ=10z이다. 즉, z를 극좌표의 형태로 표현한 것이다. 그런 이유로 이를 극분해(polar decomposition)이라 부른다.

4.2 곱셈의 기하적 표현

극분해된 두 복소수 z1=r1eθ1iz2=r2eθ2i의 곱은 z1z2=r1r2e(θ1+θ2)i이다. 즉, 복소평면을 극좌표로 생각하면 곱셈이 아주 편해진다.