복소평면

1 개요

복소 평면은, 복소수의 집합 [math]\mathbb{C}[/math]를 좌표평면[math]\mathbb{R}^{2}[/math]에 나타내어 복소수를 직관적으로 이해할 수 있게 만든 도구이다.

2 평면과 복소수의 대응법

복소수와 좌표평면의 점을 일대일로 대응시킬 수 있다. 예를들어 [math]x+yi[/math]를 [math]\left(x,y\right)[/math]에 대응시키면 이는 일대일 대응이되고 벡터공간 구조를 보존해준다.

[math]i[/math]는 [math]\left(0,\,1\right)[/math]에, [math]1[/math]은 [math]\left(1,\,0\right)[/math]에 대응되기 때문에, x축을 실수축, y축을 허수축이라 부른다.

3 덧셈 관련

3.1 덧셈의 기하적 표현

언급했듯이, 벡터공간의 성질을 유지하며 [math]\mathbb{C}[/math]를 [math]\mathbb{R}^{2}[/math]를 대응시켰기 때문에, 두 복소수의 덧셈은 복소평면에서 두 벡터의 덧셈이 된다.

3.2 켤레

복소수 [math]z[/math]의 켤레복소수 [math]\overline{z}[/math]는 [math]z[/math]의 x축 대칭이다.

3.3 실수, 순허수

실수와 순허수는 각각 x축과 y축 위에 있다.

4 곱셈

4.1 극분해(polar decomposition)

복소수 [math]z:=x+yi[/math]([math]x[/math], [math]y[/math]는 실수)에 대해, [math]r:=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0[/math]는 실수이다. [math]z/r=c+si[/math]([math]c=x/r[/math], [math]s=y/r[/math]는 실수)라 할 때, [math]\left|z/r\right|^{2}=c^{2}+s^{2}=1[/math]이다. 따라서 실수 [math]\theta[/math]가 존재하여 [math]c=\cos \theta[/math], [math]s=\sin \theta[/math]이다. 여기에 [math]e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta[/math]를 적용하면 [math]z=r e^{\theta i}[/math]를 얻는다. 여기서, [math]r[/math]은 [math]0[/math]과 [math]z[/math] 사이의 거리, [math]\theta=\angle 10z[/math]이다. 즉, [math]z[/math]를 극좌표의 형태로 표현한 것이다. 그런 이유로 이를 극분해(polar decomposition)이라 부른다.

4.2 곱셈의 기하적 표현

극분해된 두 복소수 [math]z_{1}=r_{1} e^{\theta_{1} i}[/math]와 [math]z_{2}=r_{2} e^{\theta_{2} i}[/math]의 곱은 [math]z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2} e^{\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) i}[/math]이다. 즉, 복소평면을 극좌표로 생각하면 곱셈이 아주 편해진다.