Euler's formula.
1 개요
1768년에 출판된 오일러의 책 《Introduction》에 수록된 것으로, 다음과 같은 내용이다.
실수 [math] x [/math]에 대해 다음이 성립한다.[math] e^{ix}= \cos x + i \sin x [/math]
[math]e[/math]는 자연상수, [math]i[/math]는 허수단위.
[math] x [/math]에 [math] \pi [/math]를 대입하면 오일러의 등식을 얻을 수 있다.
2 증명
증명은 테일러 급수[1], 미분 계산[2], 미적분, 미분방정식[3], 복소평면과 함수의 극한[4] 등을 이용해서 할 수 있다.
간단한 예를 들면 양쪽을 함수로 보고 미분하되, 미분한 결과를 테일러 급수으로 나타내서 비교하는 걸로 끝. 대부분은 3차항까지 전개하기 전에 규칙을 깨달을 것이다. 모르겠으면 이항정리를 다시 볼 것. [math] \cos{} [/math]을 [math] x [/math]축의 실수, [math] \sin [/math]을 [math] y [/math]축의 허수로 보면 복소평면과 관련된 공식들을 이해하기 쉬위진다.[5]
사실 증명이라고 하지만 미적분을 이용해서 복소수 지수를 정의하는 것에 가깝다.[6]
3 의의
이 식이 출현하기 전엔 애초에 실수와 순허수는 서로 계산 불가능했으며[7], 자연상수는 지수함수 계산에, 원주율은 삼각함수 계산에 쓰던, 각기 독자적으로 발견, 개발되고 서로 고유의 영역을 이루고 있어서 여간해선 만날 일 없던 수들이었다. 이 식이 출현하고 나서, 실수와 순허수는 복소평면이라는 공간에서 서로 만나게 되었으며, 초월함수인 지수함수와 삼각함수가 복소평면 상에서 결국 동일한 현상이었다는 것을 밝혔다.
비유한다면, FPS와 RTS와 MMORPG가 진화를 거듭한 끝에 결국 하나의 장르로 통합되어 완성된 걸 보고 있는 느낌이라고 할 수 있을 듯.
4 유용성
4.1 전기, 전자공학
전기공학이나 전자공학에서 이 식이 없었다면, 모든 전기, 전자분야가 이 정도로 발전하긴 힘들었을지도 모른다.[8]전자기학 자체가 이 등식처럼 전기와 자기를 결합하는 이론이기 때문인데, 간단히 말하자면 주파수에 관련하여 [math] e^{-j\omega t} [/math] 형태의 서술이 꼭 필요하다.[9]
이해하기 힘든 위키러를 위해 교과서의 간단한(...) 설명을 첨부하자면 다음과 같다:
[math] v \left( t \right) = \text{Re}\left(Ve^{j\omega t}\right) , V=V_{m} e^{j\phi} = V_{m} \angle{\phi} [/math]
즉 진폭과 진동수를 가지고 진동하는 모든 것들은 저런 허수 지수표현을 통해 미분이고 적분이고 지지고 볶고 계산한 후, 이후 실수파트가 필요할 경우 [math]\text{Re}\left[\right][/math]를 씌워 실수부를 취하는 것이다.
4.2 수학
이 식을 이용하면 [math] x^n = m [/math] ([math] n [/math]은 자연수, [math] m [/math]은 정수)의 [math] n [/math]개의 복소수 해가 복소평면에서 정[math] n [/math]각형을 이룬다는 걸 보이거나 [math] x^3 = \pm 1 [/math]의 복소수근에 관한 문제를 인수분해 없이 풀 수 있다.[10] 이 방법은 [math] x^n = \pm 1 [/math]의 복소수근을 구하는 데에도 그대로 사용될 수 있다.
또한 이식을 이용하면 [math] e^x [/math] (x는 순허수)의 절댓값은 항상 1이라는 것도 알 수 있다 (복소평면에서의 단위벡터)
5 참조
6 기타
위상수학에서는 구외 위상적으로 같은 입체도형에 대해 면의 수 [math]f[/math], 변의 수 [math]e[/math], 꼭지점의 수 [math]v[/math]에 대하여 [math]v-e+f=2[/math]라는 오일러의 공식이 있다. 참고로 오일러의 정리, 오일러 방정식와는 다른 것이다.- ↑ [math] e^x [/math]의 전개식에 [math] x := ix [/math]를 넣으면 기적처럼 [math]i \sin{ x }[/math]의 전개식과 [math] \cos{ x } [/math]의 전개식이 등장한다.
- ↑ [math] e^{ ix } [/math]를 네 번 미분하면 자기 자신으로 돌아오는데 이때 이런 함수는 [math]\sin{ x }, \cos{ x } [/math]가 대표적. 그러므로 이를 선형결합시키고 상수를 계산하면 공식이 등장한다.
- ↑ [math] f \left( x \right)=\cos x+i\sin x [/math] 으로 하면 [math] f \left( x \right) = -if' \left( x \right) [/math]이므로 미분방정식을 풀면 [math]f \left( x \right) = e^{ ix } [/math]이다.
- ↑ 네이버 캐스트 오일러의 공식참고
- ↑ 대표적으로 두 복소수의 편각의 합이 두 복소수의 곱의 편각과 같다든가.. (이 경우 삼각함수의 덧셈정리로 증명할 수 있다.)
- ↑ 고등학생때 지수를 '유리지수'와 '실지수'로 확장시켰듯이.
- ↑ 고등학교 1학년 수학에서 복소수 단원을 상기해보자. 복소수는 a+bi이며 a와 b는 실수라고 정의하고 있었다. 복소수끼리 덧셈과 뺄셈을 할 경우엔 실수부와 허수부끼리만 놀았으며 곱셉은 [math] i^2 = -1 [/math]을 이용하여, 나눗셈은 분모의 허수부를 곱셈공식으로 없애는 식이었다. 즉 실수와 순허수는 아예 따로 노는 놈들이었다.
- ↑ 무선통신은 이 식 없이는 설명이 거의 불가능 하다..
- ↑ [math] \omega [/math]는 각주파수, [math] j [/math]는 복소수 단위. 이런 위상에 따른 표현은 전기나 전자를 공부하거나, 혹은 진동에 대해서 공부한다면 phasor라는 형태로 매 강의마다 당연히 보게된다.
그리고 전기 전자와는 거리가 먼 수학을 공부하는 학생들도 자주 보게되겠지. 예제로 - ↑ 이 방정식 자체는 고등학교 수준이지만, 고등학교 과정에서 이 방정식의 해를 완전히 구하려면 결국 인수분해와 이차방정식의 근의 공식을 이용해야 한다. 또는 문제에 따라서는 해를 완전히 구하지 않고 해의 성질들을 이용하기도 한다. 그런데, 이 문서의 내용을 알고 삼각함수에 조금 익숙하다면, [math] x^3 = \pm 1 [/math]의 복소수근에 관한 문제를 머릿속으로 풀어 버린 뒤 바로 답을 적어 버리는 것이 가능하다. 조금 예를 들면 [math] x^3 = \pm 1 [/math]을 읽자마자 바로 이 방정식의 세 근을 완전하게 적어 내려갈 수 있다든지.
하지만 수능에 단련된 우리의 암기뇌라면 이 정도의 간단한 식은 인수분해와 근의 공식을 이용하더라도 암산(?)하여 바로 근을 적을 수 있다. 고딩 때 많이 봤잖아요?