Partial fraction decomposition
1 개요
부분분수분해는 유리식에서 분자나 분모의 차수를 낮추거나, 급수를 망원급수의 형태로 바꾸고자 할 때 쓰이는 방법이다.
예를 들어 [math]\displaystyle {1\over {AB}}={1\over{B-A}}\left({1\over A}-{1\over B}\right)[/math]에서 [math]B-A[/math]의 값이 단순하다면 합을 구하기 용이해진다.
2 예시
[math]\displaystyle \frac{1}{x^2-1} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)[/math]
음이 아닌 정수 [math]m[/math]에 대하여
[math]\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{m+2}\left\{k(k+1)\cdots(k+m)(k+m+1)-(k-1)k\cdots (k+m)\right\}=\frac{1}{m+2}{n(n+1)(n+2)\cdots(n+m+1)}[/math]
자연수 [math]m[/math]에 대하여
[math]\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{1\over k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)}={1\over m}\left({{1\over m!}-{1\over (n+1)(n+2)\cdots(n+m)}}\right)[/math]