Separation vector.
1 개요
위치 벡터(position vector)에서 근원 벡터(source vector)를 뺀 벡터이다.[1]
전자기학에서 두 가지 위치를 약속하고 내용을 전개한다. 하나는 전하나 전류가 있는 지점으로 →r′으로 쓴다. 다른 한 지점은 전기장이나 자기장 등을 측정하는 지점으로서 →r으로 쓴다. 이 때 전자기장의 원천(source)에서 관측 지점까지 떨어진 거리를 분리벡터라 한다. 보통 →ℜ≡→r−→r′로 쓴다.[2]
2 분리벡터를 이용한 표현
분리벡터의 크기는 ℜ=|→r−→r′|이고 그 방향의 단위 벡터는ˆℜ=→ℜℜ=→r−→r′|→r−→r′|이다.
참고로 Reitz 전자기학 교재에서는 분리벡터나 이의 단위벡터를 따로 약속하지 않고 →r−→r′를 쓴다.
아래는 몇 가지 대표적인 공식을 분리벡터로써 표현한 것이다.
2.1 델(del)연산
원천과 관측 지점 두 가지가 있기 때문에 델 연산도 엄밀히 말해서 두 가지로 나누어진다.
- ∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z),∇′=(∂∂x′,∂∂y′,∂∂z′)
위 두 연산자의 차이는 관측자의 위치가 변하는지, 혹은 원천의 위치가 변하는지를 나타낸다. 관측자의 위치인 x,y,z가 미분 대상이라면 원천의 위치인 x′,y′,z′는 상수로 취급된다. 즉 편미분을 확장한 셈이다.
예를 들어 아래와 같은 미분에서 분리벡터의 정의에 따라 서로 다른 결과가 나온다. 두 위치 벡터 →r,→r′의 뺄셈으로 정의되어 있으며, 미분하는 대상 벡터가 달라지기 때문이다.
∇(1ℜ)=−ˆℜℜ2,∇′(1ℜ)=+ˆℜℜ2
2.2 쿨롱 법칙
이하 분리벡터를 쓰지 않은 식과 도입항 식을 병기.
- →F=14πϵ0qQ(→r−→r′)|→r−→r′|3
- →F=14πϵ0qQℜ2ˆℜ
2.3 전기장의 합산
한 지점을 기준으로 전기장을 구하고자 할 때에는 원천 지점을 기준으로 적분한다.
- →E(→r)=14πϵ0∭ρ(→r′)(→r−→r′)|→r−→r′|3d3v′
- →E(→r)=14πϵ0∭ρ(→r′)ˆℜℜ2d3v′
번외로 입자계가 받는 힘을 구하고자 할 때에는 관측 지점을 기준으로 적분한다. 부피적분을 나타내는 d3v,d3v′ 부분을 주목할 것.
- →Fnet=∭→F(→r)d3v
2.4 비오-사바르 법칙
위의 전기장의 적분과 비슷한 맥락.
- →B(→r)=μ04π∭→J(→r′)×(→r−→r′)|→r−→r′|3d3v′
- →B(→r)=μ04π∭→J(→r′)׈ℜℜ2d3v′