Separation vector.
1 개요
위치 벡터(position vector)에서 근원 벡터(source vector)를 뺀 벡터이다.[1]
전자기학에서 두 가지 위치를 약속하고 내용을 전개한다. 하나는 전하나 전류가 있는 지점으로 [math]\vec{r'}[/math]으로 쓴다. 다른 한 지점은 전기장이나 자기장 등을 측정하는 지점으로서 [math]\vec{r}[/math]으로 쓴다. 이 때 전자기장의 원천(source)에서 관측 지점까지 떨어진 거리를 분리벡터라 한다. 보통 [math] \vec{\Re}\equiv\vec{r}-\vec{r'} [/math]로 쓴다.[2]
2 분리벡터를 이용한 표현
분리벡터의 크기는 [math] \Re=\left |\vec{r}-\vec{r'} \right |[/math]이고 그 방향의 단위 벡터는[math] \hat{\Re}=\frac{\vec{\Re}}{\Re}=\frac{\vec{r}-\vec{r'}}{\left |\vec{r}-\vec{r'} \right |}[/math]이다.
참고로 Reitz 전자기학 교재에서는 분리벡터나 이의 단위벡터를 따로 약속하지 않고 [math] \vec{r}-\vec{r'} [/math]를 쓴다.
아래는 몇 가지 대표적인 공식을 분리벡터로써 표현한 것이다.
2.1 델(del)연산
원천과 관측 지점 두 가지가 있기 때문에 델 연산도 엄밀히 말해서 두 가지로 나누어진다.
- [math]\displaystyle \nabla=\left({\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}, {\partial \over \partial z} \right), \nabla'=\left({\partial \over \partial x'}, {\partial \over \partial y'}, {\partial \over \partial z'} \right)[/math]
위 두 연산자의 차이는 관측자의 위치가 변하는지, 혹은 원천의 위치가 변하는지를 나타낸다. 관측자의 위치인 [math]x, y, z[/math]가 미분 대상이라면 원천의 위치인 [math]x', y', z'[/math]는 상수로 취급된다. 즉 편미분을 확장한 셈이다.
예를 들어 아래와 같은 미분에서 분리벡터의 정의에 따라 서로 다른 결과가 나온다. 두 위치 벡터 [math] \vec{r}, \vec{r'} [/math]의 뺄셈으로 정의되어 있으며, 미분하는 대상 벡터가 달라지기 때문이다.
[math]\displaystyle \nabla \left({1 \over \Re}\right) = -{\hat{\Re} \over \Re^2}, \nabla' \left({1 \over \Re}\right) = +{\hat{\Re} \over \Re^2} [/math]
2.2 쿨롱 법칙
이하 분리벡터를 쓰지 않은 식과 도입항 식을 병기.
- [math]\displaystyle \vec{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qQ(\vec{r}-\vec{r'})}{\left |\vec{r}-\vec{r'} \right |^3}[/math]
- [math]\displaystyle \vec{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qQ}{\Re^2}\hat{\Re}[/math]
2.3 전기장의 합산
한 지점을 기준으로 전기장을 구하고자 할 때에는 원천 지점을 기준으로 적분한다.
- [math]\displaystyle \vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint \frac{\rho(\vec{r'}) (\vec{r}-\vec{r'})}{\left |\vec{r}-\vec{r'} \right |^3} d^3v'[/math]
- [math]\displaystyle \vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint \frac{\rho(\vec{r'}) \hat{\Re}}{\Re^2} d^3v'[/math]
번외로 입자계가 받는 힘을 구하고자 할 때에는 관측 지점을 기준으로 적분한다. 부피적분을 나타내는 [math]d^3v, d^3v'[/math] 부분을 주목할 것.
- [math]\displaystyle \vec{F}_{net}= \iiint \vec{F}(\vec{r}) d^3v[/math]
2.4 비오-사바르 법칙
위의 전기장의 적분과 비슷한 맥락.
- [math]\displaystyle \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \frac{\vec{J}(\vec{r'}) \times (\vec{r}-\vec{r'})}{\left |\vec{r}-\vec{r'} \right |^3} d^3v'[/math]
- [math]\displaystyle \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \frac{\vec{J}(\vec{r'}) \times \hat{\Re}}{\Re^2} d^3v'[/math]