델(연산자)

일단 나블라는 그렇다 치고, ∇는 어떻게 검색하라는 건가?[1]

1 개요

네이버캐스트

다변수 함수를 미분할 때 쓰는 기호로, [math] \nabla [/math][2]라는 역삼각형으로 표기한다. 벡터처럼 다룰 수 있는 연산자이므로 간혹 [math] \vec{\nabla} [/math] 로 표현하기도 한다. 최초 사용자는 윌리엄 로원 해밀턴. 이 문자는 유니코드 기준으로 U+2207에 배당되어 있다.[3]

직교좌표계에서의 표현은 아래와 같다.

[math] \displaystyle \nabla = \left( \dfrac{ \partial }{ \partial x_1 },\ \dfrac{ \partial }{ \partial x_2 },\ \cdots,\ \dfrac{ \partial }{ \partial x_n } \right) = \sum_{ i=1 }^n \vec{ e_i } \dfrac{ \partial }{ \partial x_i } [/math]

(3차원 직교좌표인 경우 [math] \nabla = \dfrac{ \partial }{ \partial x } \hat{ x } + \dfrac{ \partial }{ \partial y } \hat{ y } + \dfrac{ \partial }{ \partial z } \hat{ z } [/math] )

e 는 i방향을 의미하며, 직교좌표에선 말 그대로 단위벡터지만 사용하는 좌표계에 따라 바뀔 수 있다. 이 중 극좌표, 원통좌표, 구면좌표같이 직교좌표(Cartesian)는 아니지만 서로 직교하는(orthogonal) 좌표계에 대해서는 Scaling factor [math] {h_i} [/math]만큼 보정하여 계산해야 하며[4] 그 값들은 각각 다음과 같다.

직교좌표계(Cartesian coordinate)[math] {h_x = 1,\ h_y = 1,\ h_z = 1} [/math]
원통좌표계(Cylinderical coordinate)[math] {h_r = 1,\ h_{\theta} = r,\ h_z = 1} [/math]
구면좌표계(Spherical coordinate)[math] h_r = 1,\ h_{\phi} = r,\ h_{\theta} = r \sin{ \theta } [/math]

델은 다차원 미분의 기본이 되는 연산자이며, 연산자는 하나이지만 스칼라에 붙느냐 벡터에 붙느냐에 따라 달라지고 스칼라곱을 하느냐 벡터곱을 하느냐에 따라 달라지므로 주의해야한다.

물리학이 대학 학부 수준쯤이면 한 물리량의 변화에 대한 다른 물리량을 예측한다는 관점이기 때문에 전자기학을 시작으로 양자역학이나 고전역학 등등 모든 곳에서 튀어나온다. 나비에-스톡스 방정식의 위 두 식에서도 볼 수 있는데, 그 아래의 스칼라식 풀이를 보면 이것이 얼마나 심오한 의미인 지를 알 수가 있다(...)

2 관련 연산

2.1 경사(Gradient)

이 문단은 grad · 그래디언트 · 그라디언트 · Gradient(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.

혹시 그라데이션을(를) 찾아오셨나요?

나무위키의 전 관리자 Gradient에 대해서는 나무위키:2기 정식 운영진#s-2.2.9 문서를 참조하십시오.

[math] \vec{ \nabla } \psi = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } \frac{1}{h_i}\frac{ \partial \psi }{ \partial x_i } \hat{ x_i } [/math]

3차원에서 위에서 언급한 3가지 좌표계에 따라 써보면

  • 직교좌표계
[math] \vec{ \nabla } \psi = \displaystyle \frac{ \partial \psi }{ \partial x } \hat{ x } +\frac{ \partial \psi }{ \partial y } \hat{ y } + \frac{ \partial \psi }{ \partial z } \hat{ z } [/math]
  • 원통좌표계
[math] \vec{ \nabla } \psi = \displaystyle \frac{ \partial \psi }{ \partial r } \hat{ r } + \frac{1}{r} \frac{ \partial \psi }{ \partial \theta } \hat{ \theta } +\frac{ \partial \psi }{ \partial z } \hat{ z } [/math]
  • 구면좌표계
[math] \vec{ \nabla } \psi = \displaystyle \frac{ \partial \psi }{ \partial r } \hat{ r } +\frac{1}{r} \frac{ \partial \psi }{ \partial \phi } \hat{ \phi } +\frac{1}{ r \sin{\theta}}\frac{ \partial \psi }{ \partial z } \hat{ \theta } [/math]

옛날엔 구배(勾配)라고 불렀는데, 요즘은 기울기나 경사(傾斜)라고도 한다.
모 고전역학 번역본에서는 물매라고도 표기된다. 허나 그 에디션자체가 관련 전공자가 번역을 한게 아니라 오역이 극심하고 나중에 개정판이 나오며 제대로 수정되었다.
스칼라 함수를 넣으면 벡터 함수가 나온다. 포텐셜 함수의 변화량을 알기 위해 쓰인다.[5] 이게 변화량, 경사 등과 관련이 있는 이유는 방향도함수를 참조해보면 쉽게 이해할 수 있다.

참고로 gradient의 역연산은 경로적분이다. 미분의 역연산이 적분인 것에 대비된다.

2.2 회전(Curl / Rotation)

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[math] \vec{ \nabla } \times \vec{ A } = \displaystyle \sum_{ k, l, m }{ \epsilon_{k l m} \frac{ 1 }{ h_l h_m } \frac{ \partial }{ \partial x_l } h_m A_m \hat{ x_k } } [/math]

[math] \epsilon_{ k l m } [/math]은 레비치비타 기호(levi-civita symbol)라고 하며, +1, 0, -1 중 하나의 값을 가진다.
벡터의 외적연산이기 때문에, 결과값이 벡터 형태의 미분방정식이 된다. 회전이라는 이름이 붙은 이유는, 외적으로 계산된, 수직 방향의 벡터가 미분된 함수로 인해서 연속적으로 계산되기 때문에 결과적으로 빙빙 돌아가는(...) 모양새가 되기 때문.

물리학과는 떨어질 수 없는 사이로, 대표적으로 전자기학의 맥스웰 방정식의 3,4번 식을 기술할 때 사용된다.

파일:Curl1.jpg

먼저 상상하기 쉬운 2차원을 생각해보면 화살표를 모두 합했을 때 반시계 방향으로 회전하는 형태가 나타나는 것을 알수 있다. 이 때 방향은 오른손으로 회전방향을 감으면 엄지 손가락 즉 z축 방향이다. (Ax(y+d)와 Ay(x)의 방향을 반대로 하고 그림을 겹쳐본다. )
파일:Curl2.jpg

이를 3차원으로 확장해보면 x축을 기준으로 회전하는 것과 y축을 기준으로 회전하는 것을 더하면 된다. 그 이상의 차원에서도 정의할 수 있으나 인식하기는 대략난감...
물론 높은 차원으로 확장할 수 있는데
n차원 curl은 n≥4일 때 n-2 차 텐서이다.

2.3 발산(Divergence)

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[math] \vec{ \nabla }\cdot \vec{A} = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } \frac{1}{h_1 h_2 ... h_n} \frac{ \partial }{ \partial x_i } {\frac{h_1 h_2 ... h_n}{h_i} A_i } [/math]

벡터의 내적연산으로 결과값은 스칼라 형태의 미분방정식이 된다. 발산이라는 이름은 회전과 비슷하게, 각 surface에 수직한 방향으로 벡터장이 얼마나 많이 들어오거나 나가고 있는지를 나타내는 양을 계산하기 때문이다.

회전과 마찬가지로 물리에서 떨어질 수 없는 존재이며, 맥스웰 방정식의 1,2번 식을 기술할 때 사용된다.


파일:Div.jpg
발산은 2차원으로 생각하면 회전보다 한결 직관적이다. 그림을 겹쳐보면 빠져나가는 양이 발산임을 알 수 있다. 수식과 바로 연결이 되리라 믿는다.
Div1.jpg

이 역시 3차원으로 확장하면 dAz/dz 항만 더해주면 된다. 이 역시 회전보다 훨씬 직관적이다.

2.4 라플라시안(Laplacian)

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[math]\Delta f= \vec{\nabla}^2 f = \vec{\nabla} \cdot \left(\vec{\nabla}f\right) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{n}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i ^2}[/math]

수식에서 알 수 있듯이, 스칼라의 경우 gradient의 divergence를 구한 것이다. 학부수준에서 다루는 역학 및 전자기 문제들이 대부분 2계 미분 방정식이라 3차원 등으로 나타내면 이 연산자를 보게 된다.

2.5 벡터 라플라시안(Vector Laplacian)

이 문단은 벡터 라플라시안(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.

벡터 라플라시안은 다음과 같이 정의된다.

[math]\Delta \vec{A}= \vec{\nabla}^{2} \vec{A} = \nabla (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) [/math]

대학교 미분적분학을 공부하다 보면 벡터의 외적을 공부하게 되는데 벡터 삼중곱의 성질을 가져와 쓴 거다.
데카르트 좌표계(Cartesian coordinates)에서는 그냥 성분별로 라플라시안을 취해 주면 끝.

2.6 달랑베르시안(d'Alembertian)

이 항목은 달랑베르시안, 달랑베르 연산자로도 들어올 수 있습니다.
[math]\displaystyle \Box = \partial^{\mu}\partial_{\mu} = g^{\mu\nu}\partial_{\nu}\partial_{\mu} = {1 \over c^2}{\partial^2 \over \partial t^2} - \displaystyle \sum_{i = 1}^{n}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i ^2} [/math]

시간과 공간 방향을 분리하여 라플라시안을 사용해서 나타내면 다음과 같다.

[math]\displaystyle \Box = \frac{ 1 }{ c^2 } \frac{ \partial^2 }{ \partial t^2 } - \nabla^2 [/math][6][7]

물리학과 전공자의 경우 전자기학 후반부의 상대론적 전자기학이나 파동방정식에서 만날 수 있는 연산자로, 4차원 시공간에서 라플라시안에 대응되는 연산자이다.

라플라시안과는 달리 달랑베르시안은 통일된 표기법이 없는데, 라플라시안과 형태를 비슷하게 맞추고 스칼라로서의 본성을 강조하기 위해 [math]\displaystyle \Box^2[/math]의 표기를 선호하는 이들도 있고, 4차원에서 수식을 표현하는 것이 당연시되는 물리 분야에서는 단순히 [math]\partial^2[/math]으로 표현하기도 한다.

  1. ↑ 한글 ㄷ키 누른뒤 한자로 누르면 변환된다
  2. ↑ 나블라 기호라고 한다. 동명의 현악기 이름에서 유래.
  3. ↑ ㄷ→한자 키→PgDn→PgDn→2로 입력 가능하다.
  4. ↑ 사실 정의하기 나름이다. Scaling factor는 계량 텐서가 대각행렬일때만 정의할 수 있다. 어떤 책에서는 위에서 보정한 성분을 physical component라고도 한다.
  5. ↑ 역으로 벡터 함수가 어떤 스칼라 함수의 그라디언트로 표현된다는 것은 그 함수의 포텐셜을 구할 수 있다는 것을 의미하며, 이는 벡터 문제를 스칼라로 환원시킬 수 있다는 점에서 매우 큰 메리트를 갖는다. 대표적인 예로 우리가 흔히 전압이라고 말하는 Electric Potential이 있다. 물론 세부 정의는 다소 다르지만.
  6. ↑ 그리피스의 전자기학 책에서는 부호가 이의 반대로 되어 있다. 달랑베르시안은 계량텐서(metric tensor) [math]g^{\mu\nu}[/math]를 어떻게 정의하느냐에 따라 달라지기 때문이다.
  7. ↑ 이 문서에서는 metric signature를 (+---)로 채택하였다.

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 델문서에서 가져왔습니다.</div></div>