불완전 감마 함수

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1 무엇인가?

불완전 감마 함수(a,b)는 다음과 같이 정의된다.

$$\displaystyle \gamma\left ( a,b \right )=\int_{b}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}dx$$

감마 함수는 여기서 b=0인 경우로, 불완전이라는 이름이 붙은 게 적분범위가 감마함수보다 좁으므로 '불완전'하기 때문이다. 비초등함수로 분류되긴 하지만 a가 자연수면 초등함수의 유한한 결합으로 표현이 가능하다.

2 미분

$$-x^{a-1}e^{-x}$$ 이다.

3 위 정의를 이용하여 부정적분 구하기

3.1 1탄: $$\displaystyle \int \frac{e^{x}}{x} dx$$

우선 $$\displaystyle x=-t$$ 로 두면,
$$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1$$ 이다.
$$\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{t}dt$$
$$\displaystyle - - \int \frac{e^{-t}}{t}dt$$
위 정의에서 $$a=0,b=t$$ 를 대입하면 그 함수가 위 함수의 부정적분이 된다.
$$\displaystyle - \gamma\left ( 0,t \right )+C$$
$$t=-x$$ 이므로,
$$\displaystyle - \gamma\left ( 0,-x \right )+C$$

3.2 2탄: $$\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} dx$$

$$\displaystyle \ln x=t$$ 로 치환합니다.
그러면,
$$\displaystyle x=e^{t}$$
$$\displaystyle \frac{dx}{dt}=e^{t}$$
$$\displaystyle \int \frac{e^{t}}{t} dt$$
$$\displaystyle - \gamma\left ( 0,-t \right )+C$$
$$\displaystyle - \gamma\left ( 0,-\ln x \right )+C$$

4 자매품

하부 감마 함수가 있는데 이렇게 정의된다.
$$\displaystyle \gamma\left ( a,b \right )=\int_{0}^{b}x^{a-1}e^{-x}dx$$

5 관련 문서

• 감마 함수