불완전 감마 함수

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1 무엇인가?

불완전 감마 함수(a,b)는 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle \gamma\left ( a,b \right )=\int_{b}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}dx[/math]

감마 함수는 여기서 b=0인 경우로, 불완전이라는 이름이 붙은 게 적분범위가 감마함수보다 좁으므로 '불완전'하기 때문이다. 비초등함수로 분류되긴 하지만 a가 자연수면 초등함수의 유한한 결합으로 표현이 가능하다.

2 미분

[math]-x^{a-1}e^{-x}[/math]이다.

3 위 정의를 이용하여 부정적분 구하기

3.1 1탄:[math]\displaystyle \int \frac{e^{x}}{x} dx[/math]

우선 [math]\displaystyle x=-t[/math]로 두면,
[math]\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1[/math]이다.
[math]\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{t}dt[/math]
[math]\displaystyle - - \int \frac{e^{-t}}{t}dt[/math]
위 정의에서 [math]a=0,b=t[/math]를 대입하면 그 함수가 위 함수의 부정적분이 된다.
[math]\displaystyle - \gamma\left ( 0,t \right )+C[/math]
[math]t=-x[/math]이므로,
[math]\displaystyle - \gamma\left ( 0,-x \right )+C[/math]

3.2 2탄:[math]\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} dx[/math]

[math]\displaystyle \ln x=t[/math]로 치환합니다.
그러면,
[math]\displaystyle x=e^{t}[/math]
[math]\displaystyle \frac{dx}{dt}=e^{t}[/math]
[math]\displaystyle \int \frac{e^{t}}{t} dt[/math]
[math]\displaystyle - \gamma\left ( 0,-t \right )+C[/math]
[math]\displaystyle - \gamma\left ( 0,-\ln x \right )+C[/math]

4 자매품

하부 감마 함수가 있는데 이렇게 정의된다.
[math]\displaystyle \gamma\left ( a,b \right )=\int_{0}^{b}x^{a-1}e^{-x}dx[/math]

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