삼각함수의 합차공식

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1 개요

삼각함수의 덧셈정리에서 유도되는 여러 공식들 중 하나. 이름은 합차공식이지만 인수분해에서 쓰이는 합차공식이랑은 특별한 관련은 없다. 증명의 편의상 삼각함수의 덧셈정리의 식에 번호를 매기도록 한다.

1. [math]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/math]
2. [math]\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta[/math]
3. [math]\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta[/math]
4. [math]\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta[/math]

2 곱을 합차로 바꾸는 공식

1번식과 2번식을 더한뒤 2로 나누면, [math]\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)[/math].
1번식에서 2번식을 뺀뒤 2로 나누면, [math]\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)[/math].
3번식과 4번식을 더한뒤 2로 나누면, [math]\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right)[/math].
3번식에서 4번식을 뺀뒤 2로 나누면, [math]\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right)[/math].

표로 정리하면 다음과 같다.

 i. [math]\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)[/math]
 i. [math]\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right)[/math]
 i. [math]\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right)[/math]
 i.[math]\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right)[/math]

3 합차를 곱으로 바꾸는 공식

위 문단의 곱을 합차로 바꾸는 공식에서 유도되는 또다른 공식. [math]\alpha+\beta=A, \alpha-\beta=B[/math]로 치환한뒤 [math]\alpha, \beta[/math]에 관해서 풀면, [math]\alpha=\frac{A+B}{2}, \beta=\frac{A-B}{2}[/math]이고, 이 값을 식에 대입한 뒤 좌변과 우변을 바꾸면 아래 공식을 얻는다.

 i. [math]\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}[/math]
 i. [math]\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}[/math]
 i. [math]\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}[/math]
 i. [math]\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}[/math]

4 복소수에서는?

간단히 [math]\sin\beta[/math] → [math]i \sinh \beta[/math], [math]\cos\beta[/math] → [math]\cosh \beta[/math]로 갈음하면 된다.

1. [math]\sin\left(\alpha+i \beta\right)=\sin\alpha\cosh\beta+i\cos\alpha\sinh\beta[/math]
2. [math]\sin\left(\alpha-i \beta\right)=\sin\alpha\cosh\beta-i\cos\alpha\sinh\beta[/math]
3. [math]\cos\left(\alpha+i \beta\right)=\cos\alpha\cosh\beta-i\sin\alpha\sinh\beta[/math]
4. [math]\cos\left(\alpha-i\beta\right)=\cos\alpha\cosh\beta+i\sin\alpha\sinh\beta[/math]