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1 개요
삼각함수의 덧셈정리에서 유도되는 여러 공식들 중 하나. 이름은 합차공식이지만 인수분해에서 쓰이는 합차공식[1]이랑은 특별한 관련은 없다. 증명의 편의상 삼각함수의 덧셈정리의 식에 번호를 매기도록 한다.
- sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
- sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
- cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
- cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
2 곱을 합차로 바꾸는 공식
1번식과 2번식을 더한뒤 2로 나누면, sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(α−β)).
1번식에서 2번식을 뺀뒤 2로 나누면, cosαsinβ=12(sin(α+β)−sin(α−β)).
3번식과 4번식을 더한뒤 2로 나누면, cosαcosβ=12(cos(α+β)+cos(α−β)).
3번식에서 4번식을 뺀뒤 2로 나누면, sinαsinβ=−12(cos(α+β)−cos(α−β)).
표로 정리하면 다음과 같다.
i. sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(α−β))
i. cosαsinβ=12(sin(α+β)−sin(α−β))
i. cosαcosβ=12(cos(α+β)+cos(α−β))
i.sinαsinβ=−12(cos(α+β)−cos(α−β))
3 합차를 곱으로 바꾸는 공식
위 문단의 곱을 합차로 바꾸는 공식에서 유도되는 또다른 공식. α+β=A,α−β=B로 치환한뒤 α,β에 관해서 풀면, α=A+B2,β=A−B2이고, 이 값을 식에 대입한 뒤 좌변과 우변을 바꾸면 아래 공식을 얻는다.
i. sinA+sinB=2sinA+B2cosA−B2
i. sinA−sinB=2cosA+B2sinA−B2
i. cosA+cosB=2cosA+B2cosA−B2
i. cosA−cosB=−2sinA+B2sinA−B2
4 복소수에서는?
간단히 sinβ → isinhβ, cosβ → coshβ로 갈음하면 된다.
- sin(α+iβ)=sinαcoshβ+icosαsinhβ
- sin(α−iβ)=sinαcoshβ−icosαsinhβ
- cos(α+iβ)=cosαcoshβ−isinαsinhβ
- cos(α−iβ)=cosαcoshβ+isinαsinhβ
- 이동 ↑ (a+b)(a−b)=a2−b2