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삼각함수의 합차공식

1 개요

삼각함수의 덧셈정리에서 유도되는 여러 공식들 중 하나. 이름은 합차공식이지만 인수분해에서 쓰이는 합차공식[1]이랑은 특별한 관련은 없다. 증명의 편의상 삼각함수의 덧셈정리의 식에 번호를 매기도록 한다.

  1. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
  2. sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ
  3. cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ
  4. cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ

2 곱을 합차로 바꾸는 공식

1번식과 2번식을 더한뒤 2로 나누면, sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(αβ)).
1번식에서 2번식을 뺀뒤 2로 나누면, cosαsinβ=12(sin(α+β)sin(αβ)).
3번식과 4번식을 더한뒤 2로 나누면, cosαcosβ=12(cos(α+β)+cos(αβ)).
3번식에서 4번식을 뺀뒤 2로 나누면, sinαsinβ=12(cos(α+β)cos(αβ)).

표로 정리하면 다음과 같다.

 i. sinαcosβ=12(sin(α+β)+sin(αβ))
 i. cosαsinβ=12(sin(α+β)sin(αβ))
 i. cosαcosβ=12(cos(α+β)+cos(αβ))
 i.sinαsinβ=12(cos(α+β)cos(αβ))

3 합차를 곱으로 바꾸는 공식

위 문단의 곱을 합차로 바꾸는 공식에서 유도되는 또다른 공식. α+β=A,αβ=B로 치환한뒤 α,β에 관해서 풀면, α=A+B2,β=AB2이고, 이 값을 식에 대입한 뒤 좌변과 우변을 바꾸면 아래 공식을 얻는다.

 i. sinA+sinB=2sinA+B2cosAB2
 i. sinAsinB=2cosA+B2sinAB2
 i. cosA+cosB=2cosA+B2cosAB2
 i. cosAcosB=2sinA+B2sinAB2

4 복소수에서는?

간단히 sinβisinhβ, cosβcoshβ로 갈음하면 된다.

  1. sin(α+iβ)=sinαcoshβ+icosαsinhβ
  2. sin(αiβ)=sinαcoshβicosαsinhβ
  3. cos(α+iβ)=cosαcoshβisinαsinhβ
  4. cos(αiβ)=cosαcoshβ+isinαsinhβ
  1. 이동 (a+b)(ab)=a2b2