삼각함수의 덧셈정리

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1 개요

프톨레 마이오스의 저서 알마게스트(Almagest)에 최초로 언급되어 정리되었으며, 그이후 삼각법을 다루는데 중요한 공식 중의 하나이다. 특히 이 삼각함수의 덧셈정리는 문제를 박박 꼬면 정말 미칠듯한 난이도를 자랑한다. 그림으로 나오는 문제들을 풀 때는 80% 이상이 탄젠트 덧셈정리를 사용한다고 생각하면 된다. 또한 본 덧셈정리들의 증명법 또한 알아두어야 한다.

2 공식

(이하 복부호 동순)

• $$\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$
• $$\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$
• $$\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$$

복소수에서는 다음과 같다.

• $$\sin\left(\alpha\pm i \beta\right)=\sin\alpha\cosh\beta\pm i \cos\alpha\sinh\beta$$
• $$\cos\left(\alpha\pm i \beta\right)=\cos\alpha\cosh\beta\mp i \sin\alpha\sinh\beta$$
• $$\tan\left(\alpha\pm i \beta\right)=\frac{\tan\alpha\pm i \tanh\beta}{1\mp i \tan\alpha\tanh\beta}$$

2.1 외우는 요령

sin(α+β)	=	sinα · cosβ	+	cosα · sinβ
		싸코	플	코싸
cos(α+β)	=	cosα · cosβ	-	sinα · sinβ
		코코	마	싸싸
tan(α+β)	=	tan α + tan β
		1 - tan α · tan β
		일 마 탄탄 분의 탄 플 탄

가장 기본적이고 널리 알려진 방법중 하나.
마이너스 일때는 +- 부호를 뒤집어 버리면 된다.

sin(α+β) = 신(sin)코(cos)픈(+)꽃(cos)신(sin)
cos(α+β) = 고(cos)구(cos)마(-)사(sin)소(sin)

이런 배리에이션도 있다.

2.2 증명

• 단위원을 이용한 증명

단위원의 중심을 O, 양의 x축을 시초선으로하고 각의 크기가 각각

$$\beta, \alpha$$ 인 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 $$B, C$$ 라고 하자 (즉, $$\angle AOB=\beta, \angle AOC=\alpha$$ ). 그럼 두 점의 좌표는 $$B\left(\cos\beta, \sin\beta\right), C\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)$$ 이다. 두 점 사이의 거리를 구하는 공식으로 부터, $$\overline{BC}^2=\left(\cos\beta-\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\beta-\sin\alpha\right)^2=\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)+\left(\cos^2\beta+\sin^2\beta\right)-2\left(\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\right)=2-\left(\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\right)$$ . 한편, 코사인법칙으로부터, $$\overline{BC}^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\left(\alpha-\beta\right)$$ 이다. 따라서, $$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ . 여기서 $$\beta$$ 에 $$-\beta$$ 를 대입하면 $$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ .
한편, $$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha+\beta\right)\right)=\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ . 여기서 $$\beta$$ 에 $$-\beta$$ 를 대입하면 $$\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$ .
마지막으로, $$\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)}{\cos\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$$ . 여기서 분자, 분모를 $$\cos\alpha\cos\beta$$ 로 나누면 $$\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$ . 여기서 $$\beta$$ 에 $$-\beta$$ 를 대입하면 $$\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$ .

• 벡터를 이용한 증명

두 벡터

$$\vec{OB}, \vec{OC}$$ 의 내적을 구하면, $$\vec{OC}\cdot\vec{OB}=\left|\vec{OC}\right|\cdot\left|\vec{OB}\right|\cos\left(\angle COB\right)=1\cdot1\cdot\cos\left(\alpha-\beta\right)$$ . 한편 두 벡터의 내적을 성분으로 나타내면, $$\vec{OC}\cdot\vec{OB}=\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)\cdot\left(\cos\beta, \sin\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ . 따라서 $$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ .

• 오일러 등식을 이용한 증명

$$e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha$$ 이므로, $$e^{\left(i\alpha+i\beta\right)}=\cos\left(\alpha+\beta\right)+i\sin\left(\alpha+\beta\right)$$ . 한편, $$e^{\left(i\alpha+i\beta\right)}=e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}$$ 이므로, 실수부와 허수부를 나눠주면 된다.
$$\cos\left(\alpha+\beta\right)=Re\left(e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin\left(\alpha+\beta\right)=Im\left(e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

사기적인 위력이다. 복소수의 상등과 오일러의 등식을 이용해서 순식간에 증명해냈다! 이것 말고도 삼각함수의 합성을 제외한 많은 공식은 오일러의 등식을 사용하면 매우 쉽게 풀린다. 외울 필요가 없어질 정도.

위 방법 외에도 닮음, 일차변환, 삼각형의 넓이를 이용한 증명 등 여러가지 방법이 있다.

3 삼각함수의 합성

삼각함수의 덧셈정리를 응용해서

$$a\sin\theta+b\cos\theta$$ 형태로 나타난 삼각함수를 아래와 같이 하나로 합칠 수 있다.

1. $$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\theta+\alpha\right), \, \left(\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$$
2. $$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos\left(\theta-\beta\right), \, \left(\cos\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$$
3. 최댓값: $$\sqrt{a^2+b^2}$$ , 최솟값: $$-\sqrt{a^2+b^2}$$ , 주기: $$2\pi$$

증명은 그림을 그려서 각

$$\alpha$$ 나 $$\beta$$ 를 찾아서 합성하거나, 아니면 우변에 있는 합성된 삼각함수를 덧셈정리로 풀어서 정리하면 된다.

4 배각, 반각 공식

삼각함수의 덧셈정리에서 두 각을 같게 놔두면 2배각의 공식을 만들 수 있다.

$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha, \, \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha, \, \tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$

특시 코사인의 2배각 공식은 3가지 형태가 있는데,

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ 를 이용해서 변형한 것이다.
덧셈정리에서 두각을 $$\alpha, 2\alpha$$ 로 놔두면 3배각의 공식을 만들 수 있다.

$$\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha, \, \cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$$

증명은 덧셈정리를 이용해서 쭉 풀어나가면 된다.
또한, 코사인의 2배각 공식에서 반각 공식을 유도할 수 있다.

$$\alpha$$ 대신 $$\alpha/2$$ 를 대입하면 된다.

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}, \, \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}, \, \tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$$

5 삼각함수의 합차공식

항목 참조.