完全數, Perfect number
1 수학에서의 완전수
1.1 개요
그 수의 약수 중 자기자신을 제외 하고 더했을 때, 자기 자신이 되는 수. 혹은 약수의 합이 원래의 수의 두배가 되는 수라고 정의하기도 한다.
6, 28, 496, 8128 등등이 있다. 이러한 규칙성에 따라 다섯 번째로 6으로 끝나는 5자리 완전수가 존재할 것이라 예상했으나 다음 완전수는 33550336이다. 6번째 완전수는 8589869056으로 6, 8이 교대해서 나타날 것이라는 예측도 빗나갔다. 조금 더 확장하면 짝수 완전수의 마지막 수는 6 또는 28로 나타남이 증명되어 있다.
현재까지 알려진 짝수 완전수들은 2n-1 × (2n-1)의 형태로 존재하며 2n-1이 소수인 경우에 완전수가 된다. 이때 이 소수인 2n-1을 메르센 소수라 한다. 레온하르트 오일러는 모든 짝수 완전수가 위의 형태임을 증명했으며, 따라서 메르센 소수와 짝수 완전수는 일대일 대응이다.
메르센 소수의 수가 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않으므로 짝수 완전수의 유,무한 여부도 알려져 있지 않다. 또한 홀수 완전수가 존재하는지 존재하지 않는지도 알려져 있지 않다.
1.2 완전수의 예
- 6 = 1 + 2 + 3
- 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
- 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
- 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
- 33550336 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8191 + 16382 + 32764 + 65528 + 131056 + 262112 + 524224 + 1048448 + 2096896 + 4193792 + 8387584 + 16775168
- 8589869056 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131071 + 262142 + 524284 + 1048568 + 2097136 + 4194272 + 8388544 + 16777088 + 33554176 + 67108352 + 134216704 + 268433408 + 536866816 + 1073733632 + 2147467264 + 4294934528
- 137438691328
- 2305843008139952128
- 2658455991569831744654692615953842176
- 191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,216
- 13,164,036,458,569,648,337,239,753,460,458,722,910,223,472,318,386,943,117,783,728,128
- 14,474,011,154,664,524,427,946,373,126,085,988,481,573,677,491,474,835,889,066,354,349,131,199,152,128
- 235,627,234,572,673,470,657,895,489,967,099,049,884,775,478,583,926,007,101,430,275,975,063,372,831,786,222,397,303,655,396
,026,005,613,602,555,664,625,032,701,750,528,925,780,432,155,433,824,984,287,771,524,270,103,944,969,186,640,286,445,341,280
,338,314,397,902,368,386,240,331,714,359,223,566,432,197,031,017,207,131,635,274,872,987,474,006,478,019,395,871,659,364,010,
87,419,375,649,057,918,549,492,160,555,646,976
- 141053783706712069063207958086063189881486743514715667838838675999954867742652380114104193329
037690251561950568709829327164087724366370087116731268159313652487450652439805877296207297446
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- 541625262843658474126544653743913161408564905390316957846039208183872069941585348591989999210
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310310926242444635477896354414813917198164416055867880921478866773213987566616247145517269643
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2 문화에서의 완전수
특별한 의미를 가져 '완전해진 상태'로 여기는 수를 의미한다. 이런 경우, 종교나 문화에서 찾아 볼 수 있다.
- 3: 동양에서 완전성을 상징한다고 여겨진 수. 3대 요소가 여기에 해당한다.
- 7: 성경에서, 여호와가 세상을 창조하고 난 후, 7일 째 휴식하였다.
- 10: 현대에 가장 보편적으로 쓰이는 십진법, 사람의 손가락과 발가락의 개수.
- 12: 12시간, 12개월 등 과거, 현재에도 시간의 단위로 쓰이고 완전수 취급을 받았던 수.
2.1 불완전수
반대 개념으로 '불완전수'가 있다.6은 7에서 1이 부족하기 때문에 불완전수로 여기며, 12에 1을 더한 13 역시 흉한 수로 여겼다.