운동 에너지

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1 개요

운동 에너지는 움직이는 물체가 갖는 에너지다. 움직이는 물체가 정지상태에서 해당 속도까지 가속하는데 필요한 일의 양으로 운동 에너지가 정의된다. 마찬가지로 움직이고 있는 물체는 정지하는 동안 가지고 있는 운동에너지 만큼의 일을 할 수 있다. 실제 예시는 주변에서도 수도 없이 많이 찾아 볼 수 있다. 중력 위치에너지가 운동에너지로 그리고 위치에너지가 다시 운동에너지로 변하는 과정이 반복되는 롤러코스터나 바이킹과 같은 놀이기구가 좋은 예다. 다른 한편으로는 운동 에너지가 자연히 사라지는 것처럼 보이는 현상도 쉽게 관찰 할 수 있다. 평지 심지어 얼음판 위에서 움직이던 물체가 모두 자연히 멈추는 것을 볼 수 있다. 이것은 공기 혹은 물체가 놓여있는 표면과 움직이는 물체 사이의 마찰로 운동에너지가 잘 보이지 않는 형태의 에너지로 전환(주로 열 에너지)되었기 때문이다.

운동에너지는 일반적으로 보존될 필요가 없는 물리량이지만 특수한 상황에서는 거의 보존되는 것처럼 보인다. 특히 물체간의 충돌이 탄성적인 충돌로 잘 근사가 되는 상황에서 운동에너지는 거의 보존되는 것처럼 취급될 수 있다. 교과서에서도 잘 등장하는 당구판 위의 당구공이 좋은 예다.

2 고전적 운동 에너지

기술하고자 하는 물체나 입자의 속도가 광속과 비교해 대단히 느릴 때 운동에너지는 [math] \frac{1}{2} mv^2 [/math] 으로 잘 표현된다.

2.1 유도

운동에너지 정의인 가속되는데 필요한 일에서 유도가 된다. 회전하지 않는 질량 [math]m[/math]인 물체가 속도 [math]\vec{v}[/math]로 가속되는 데 필요한 일의 양을 [math]W[/math]라 하고 일률의 정의와 충격량과 운동량의 관계를 이용하면 운동에너지 [math]K[/math]는
[math]\displaystyle K = W = \int dW = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int F \cdot \vec{v} dt = \int \vec{v} \cdot d\vec{p} = \int \vec{v} \cdot d \left( m \vec{v} \right) = \int d\left(\frac{1}{2} m v^2\right) = \frac{1}{2} m v^2 [/math]

2.2 회전 운동 에너지

운동에너지의 정의로부터 회전하는 물체의 에너지 역시 유도된다. 무게 중심을 통과하는 축을 중심으로 회전하는 강체의 운동에너지는 다음과 같이 표기 할 수 있다.
[math]\displaystyle \int \frac{1}{2} v^2 d m = \int \frac{1}{2} (r \omega)^2 d m = \frac{1}{2}\omega^2 \int r^2 dm = \frac{1}{2} I \omega^2[/math]
여기서 [math] I =\int r dm [/math]을 관성 모멘트(moment of inertia)라 한다. 관성 모멘트는 일반적으로 회전축에 따라 달라 질 수 있는 값이다. 관성텐서를 이용하면 편리하게 표시할 수 있다. 자세한 내용은 강체 운동을 참고할 것.

2.3 계의 운동에너지

따로 움직일 수 있는 여러가지 물체가 복합된 계의 운동에너지는 계를 구성하는 각 요소의 운동에너지를 더하면 총 운동에너지가 된다. 총 운동에너지는 편의에 의해 계의 무게 중심의 운동에너지와 무게 중심에 대한 운동의 운동에너지로 나눌 수 있다. 무게 중심에 대한 운동의 운동에너지는 계 밖에서 관측할 때는 무게 중심이 움직이지 않더라도 관측되는 에너지로 상대론적으로 해석하면 복합계의 정지질량에 포함된다. 무게 중심에 대한 운동은 진동이나 회전이 주요 형태가 되나 계를 묶는 것은 순전히 편의에 의한 것이므로 실제 서로 묶여있지 않은 대상을 하나의 계로 묶어도 위의 이야기는 그대로 적용된다. 다만 실제 시스템을 기술하는 데에는 별로 편리함이 없을 것이다.

이 두 종류의 운동에너지는 기준 좌표계에 변화에 대해 다른 행태를 보인다. 무게 중심 운동에너지는 기준 좌표계에 따라 에너지가 다르다. 예를 들어 투수가 던진 160km 강속구는 포수 입장에서 역시 160km로 포착되지만 날아오는 야구공의 속도에 수직 방향으로 120km 날아드는 새가 있다면 새의 좌표계에선 공이 200km로 날아가는 것으로 보이며 에너지 역시 훨씬 더 크게 측정된다. 그러나 양 좌표계에서 모두 공의 회전에서 측정되는 즉 무게 중심에 대한 운동에 대한 운동에너지는 같게 보인다.

3 상대론적 운동 에너지

고전적인 운동에너지는 상대론적 운동에너지의 근사치다. 상대론에서 강체의 운동에너지는 정지질량을 [math]m[/math] 로렌츠 인자를 [math]\gamma = \sqrt{\frac{1}{1 - (v/c)^2}}[/math]라 했을 때,
[math] \displaystyle (\gamma-1) m c^2[/math]
가 된다. 여기서 [math]v[/math]는 움직이는 물체의 속도 [math]c[/math]는 광속이다. [math]v\ll c[/math] 인 경우를 가정하여 테일러 전개를 하면
[math] \displaystyle (\gamma-1) m c^2 = mc^2 \left( \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} + \frac{3 v^4}{8 c^4} \cdots \right) [/math]
가 되어 가장 중요한 항은 이미 언급한 표현인 [math] \frac{1}{2} mv^2[/math]가 되는 것을 확인 할 수 있다. 속도가 광속에 비견될 정도로 빠르진 않지만 그렇다고 아주 느리지 않은 경우엔 완전히 상대론적인 표현을 쓸수도 있지만 다음항인 [math] \frac{3 m v^4}{8 c^2}[/math]을 보정항으로 추가하는 정도로 다룰 수도 있다. 자세한 내용은 상대성 이론을 참고.

4 양자역학의 운동 에너지

양자역학에서 비상대론적 영역에서 운동에너지 연산자 운동량 연산자 [math]p[/math]를 이용하여 다음과 같이 주어진다.
[math] \displaystyle \frac{p^2}{2m} [/math]
혹은 [math] p = -i \hbar \nabla[/math]인 것을 이용하면
[math] - \displaystyle \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2[/math]

로 표시할 수 있다.