1 개요
원을 나타내는 방정식이다. 원의 방정식을 세울 때는 '한 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합'이라는 원의 정의를 이용한다.
2 유클리드 공간에서
유클리드 거리를 사용하는 거리 공간에서 원을 나타내는 방법에 대해 서술한다.
2.1 직교좌표계
직교좌표계에서는 피타고라스의 정리를 이용한다.
1차원 원의 경우 중심이 [math]\left(a\right)[/math]이고, 반지름의 길이가 [math]r[/math]인 원의 방정식은, 그 원 위의 임의의 점을 [math]\left(x\right)[/math]라고 하면, [math]|x-a|=r[/math] 이므로, 이를 변형하면 [math]x=a+r,\ a-r[/math] 또는 [math]\left(x-a\right)^2=r^2[/math] 으로 나타낼 수 있다.
2차원 원도 역시 중심이 [math]\left(a, b\right)[/math]이고, 반지름의 길이가 [math]r[/math]인 원의 방정식은, 그 원 위의 임의의 점을 [math]\left(x, y\right)[/math]라고 했을 때, 피타고라스 정리를 이용하면 [math]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2[/math] 가 성립함을 알 수 있다.
3차원 원은 '구'라고 부르며, 마찬가지로 중심이 [math]\left(a, b,c\right)[/math]이고, 반지름의 길이가 [math]r[/math]이면 [math]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=r^2[/math]이 된다.
위를 일반화하여 n차원 원의 경우 중심이 [math]\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)[/math]이고, 반지름의 길이가 [math]r[/math]인 n차원 원의 방정식은, 원 위의 임의의 점을 [math]\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)[/math]이라 할 때, [math]\left(x_1-a_1\right)^2+\left(x_2-a_2\right)^2+\cdots+\left(x_n-a_n\right)^2=r^2[/math] 과 같이 나타낼 수 있다.
2.2 매개변수 방정식
삼각함수가 2차원 원을 이용하여 정의되므로 2차원 원은 삼각함수를 이용하여 나타내면 편리하다.
삼각함수의 정의로부터, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [math]r[/math]인 원 위에 있는 임의의 점을 [math]\left(x, y\right)[/math]라고 하면 [math]x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta[/math] 와 같이 [math]\theta[/math]를 이용해 나타낼 수가 있다.
일반적으로 중심이 [math]\left(a, b\right)[/math]이고, 반지름의 길이가 [math]r[/math]인 원 위의 임의의 점을 [math]\left(x, y\right)[/math]라고 하면 [math]x=a+r\cos\theta,\ y=b+r\sin\theta[/math]로 나타낼 수 있다.
또는 [math]\displaystyle \tan{\theta \over 2}=t[/math]로 놓으면 [math]\displaystyle \cos\theta={1-t^2 \over 1+t^2} ,\ \sin\theta={2t \over 1+t^2}[/math] 이므로, [math]\displaystyle x=a+r{1-t^2 \over 1+t^2},\ y=b+r{2t \over 1+t^2}[/math]로도 나타낼 수 있다.
2.3 극 좌표계
극좌표계에서는 거리와 각으로 점의 위치를 나타내므로 원점을 중심으로 하는 원은 방정식이 매우 간단하다. 원점을 중심으로 하지 않는 경우에는 코사인 법칙을 이용해 방정식을 유도한다.
원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [math] r_0 [/math]인 원 위의 임의의 점을 극좌표로 [math]\left(r, \theta\right)[/math]이라 하면 [math]r=r_0[/math]이다.
극좌표로 [math]\left(a, \phi\right)[/math]인 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [math] r_0 [/math]인 원의 경우, 그 원 위의 임의의 점을 극좌표로 [math]\left(r, \theta\right)[/math]라고 할 때, 원점에서 점 [math]\left(a, \phi\right)[/math]까지 이은 선분, 점 [math]\left(a, \phi\right)[/math]에서 점 [math]\left(r, \theta\right)[/math]까지 이은 선분, 그리고 점 [math]\left(r, \theta\right)[/math]에서 원점까지 이은 선분은 거의 언제나 삼각형을 이룬다. 그 삼각형에서 코사인 법칙을 이용하면 [math]r^2-2ar\cos(\theta-\phi)+a^2={r_0}^2[/math]을 얻는다.
3 일반적인 거리 공간에서
3.1 벡터 방정식
위치 벡터를 이용하여 원을 나타낼 수도 있다.
| \cdot | 라는 노름이 주어져있을 때, 중심인 점의 위치벡터가 [math]\mathbf{a} [/math]이고, 반지름의 길이가 [math]r[/math]인 원 위에 있는 임의의 점의 위치벡터가 [math]\mathbf{p} [/math]라고 하면, <math> | \mathbf{p} - \mathbf{a} |
이 방정식은 임의의 자연수 차원에서 성립한다.