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원의 방정식

1 개요

원을 나타내는 방정식이다. 원의 방정식을 세울 때는 '한 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합'이라는 원의 정의를 이용한다.

2 유클리드 공간에서

유클리드 거리를 사용하는 거리 공간에서 원을 나타내는 방법에 대해 서술한다.

2.1 직교좌표계

직교좌표계에서는 피타고라스의 정리를 이용한다.

1차원 원의 경우 중심이 (a)이고, 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은, 그 원 위의 임의의 점을 (x)라고 하면, |xa|=r 이므로, 이를 변형하면 x=a+r, ar 또는 (xa)2=r2 으로 나타낼 수 있다.

2차원 원도 역시 중심이 (a,b)이고, 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은, 그 원 위의 임의의 점을 (x,y)라고 했을 때, 피타고라스 정리를 이용하면 (xa)2+(yb)2=r2 가 성립함을 알 수 있다.

3차원 원은 '구'라고 부르며, 마찬가지로 중심이 (a,b,c)이고, 반지름의 길이가 r이면 (xa)2+(yb)2+(zc)2=r2이 된다.

위를 일반화하여 n차원 원의 경우 중심이 (a1,a2,,an)이고, 반지름의 길이가 r인 n차원 원의 방정식은, 원 위의 임의의 점을 (x1,x2,,xn)이라 할 때, (x1a1)2+(x2a2)2++(xnan)2=r2 과 같이 나타낼 수 있다.

2.2 매개변수 방정식

삼각함수가 2차원 원을 이용하여 정의되므로 2차원 원은 삼각함수를 이용하여 나타내면 편리하다.

삼각함수의 정의로부터, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원 위에 있는 임의의 점을 (x,y)라고 하면 x=rcosθ, y=rsinθ 와 같이 θ를 이용해 나타낼 수가 있다.

일반적으로 중심이 (a,b)이고, 반지름의 길이가 r인 원 위의 임의의 점을 (x,y)라고 하면 x=a+rcosθ, y=b+rsinθ로 나타낼 수 있다.

또는 tanθ2=t로 놓으면 cosθ=1t21+t2, sinθ=2t1+t2 이므로, x=a+r1t21+t2, y=b+r2t1+t2로도 나타낼 수 있다.

2.3 극 좌표계

극좌표계에서는 거리와 각으로 점의 위치를 나타내므로 원점을 중심으로 하는 원은 방정식이 매우 간단하다. 원점을 중심으로 하지 않는 경우에는 코사인 법칙을 이용해 방정식을 유도한다.

원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 r0인 원 위의 임의의 점을 극좌표로 (r,θ)이라 하면 r=r0이다.

극좌표로 (a,ϕ)인 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 r0인 원의 경우, 그 원 위의 임의의 점을 극좌표로 (r,θ)라고 할 때, 원점에서 점 (a,ϕ)까지 이은 선분, 점 (a,ϕ)에서 점 (r,θ)까지 이은 선분, 그리고 점 (r,θ)에서 원점까지 이은 선분은 거의 언제나 삼각형을 이룬다. 그 삼각형에서 코사인 법칙을 이용하면 r22arcos(θϕ)+a2=r02을 얻는다.

3 일반적인 거리 공간에서

3.1 벡터 방정식

위치 벡터를 이용하여 원을 나타낼 수도 있다.

\cdot라는 노름이 주어져있을 때, 중심인 점의 위치벡터가 a이고, 반지름의 길이가 r인 원 위에 있는 임의의 점의 위치벡터가 p라고 하면, <math>\mathbf{p} - \mathbf{a}

이 방정식은 임의의 자연수 차원에서 성립한다.