Ising Model
1 개요
물질의 자성을 기술하는 가장 간단한 모형. 다른 모든 상호작용을 배제하고 계를 자기 쌍극자(혹은 1/2 스핀)를 가진 입자들의 모임으로 간주하고, 그 입자들간의 자기적 상호작용과 외부자기장만 생각해서 각종 통계역학적 변수와 성질들을 파악해내는 데 중요한 역할을 하는 모델이다. 고체물리학 등에서 쓰이는 통계모델들 중에 가장 간단한 편에 속하고, 무엇보다 해석적인 정확한 해를 구할 수 있는 몇 안 되는 모형[1][2]이어서 매우 중요한 모델로 평가받는다. 아래에서도 서술하겠지만, 2차원 이상의 이징모형에서는 자성체의 상전이를 예측할 수 있으므로 퀴리온도
2 내용
1/2 스핀들의 모임들만으로 구성된 계를 생각한다. 이 때 외부 자기장을 [math]H=h/\mu[/math]라고 하면, 계의 스핀들 사이의 상호작용에 의한 해밀토니안은 다음과 같이 기술된다.
[math]H = -\sum_{\lti,j\gt} J_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j} - h\sum_{i}\sigma_{i}[/math]
여기서 [math]\sum_{\lti,j\gt}[/math]는 i,j가 인접한 경우에 한해서만 합을 구하겠다는 뜻이고,[3] [math]\sigma_{i}[/math]는 스핀 1/2 입자를 나타내는 매개변수,[4] [math]J_{ij}[/math]는 두 스핀 사이의 상호작용을 나타내는 매개변수이다.
하술할 내용들은 Plischke, Bergersen의 Equilibrium Statistical Physics, 3rd ed.를 일부 참고함.
2.1 1차원 이징 모형과 풀이
1차원, 즉 일직선상으로 N개의 스핀들이 나열돼있는 계에서 위의 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math]H = -J\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}\sigma_{i+1} - h\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}[/math]
인접하는 각 스핀들간의 상호작용은 전부 동등하다고 생각하면, [math]J_{ij}[/math]를 상수인 [math]J[/math]로 둘 수 있다. 여기서, [math]\sigma_{i}[/math]는 스핀이 +1/2인지, -1/2인지에 관련된 정보를 가지고 있으므로, 위 해밀토니안의 식에서 스핀의 방향 이외의 관련된 비례상수가 전부 [math]J[/math]와 [math]h[/math] 안에 들어가있다고 생각하면 [math]\sigma_{i}[/math]는 +1, -1 두 값 중 하나를 가진다고 봐도 일반성을 잃지 않는다.[5][6]
여기서, 주기 경계조건 ([math]N+i=i[/math], 즉 1차원상의 맨 처음 스핀과 맨 마지막 스핀이 인접해있다는 조건)을 적용하면,[7] 위 해밀토니안은 다음과 같이 기술할 수 있다.
[math]H = -\sum_{i=1}^{N}\left[J\sigma_{i}\sigma_{i+1} + \frac{h}{2}(\sigma_{i} + \sigma_{i+1}) \right][/math]
처음 해밀토니안의 두번째 항을 주기 경계조건을 이용해 다른 방식으로 표기했을 뿐이며, 두 식은 같은 식임을 쉽게 알 수 있다. 이러한 표기법은 뒤에서 굉장히 중요해지게 된다. 이 때, 이 해밀토니안을 이용한 계의 분배함수 Z는 다음과 같다.
[math]Z = \sum_{possible\ states} \exp(-\beta H) = \sum_{\sigma_{1}=\pm 1} \cdots \sum_{\sigma_{N}=\pm 1} \exp \left( \beta \sum_{i=1}^{N}\left[J\sigma_{i}\sigma_{i+1} + \frac{h}{2}(\sigma_{i} + \sigma_{i+1}) \right] \right)[/math]
[math] = \sum_{\sigma_{1}=\pm 1} \cdots \sum_{\sigma_{N}=\pm 1} \exp \left[ \beta ( V(\sigma_{1}, \sigma_{2}) + \cdots + V(\sigma_{i}, \sigma_{i+1}) + \cdots + V(\sigma_{N}, \sigma_{1} ) \right][/math]
여기서,
[math]V(\sigma_{i}, \sigma_{i+1}) \equiv J\sigma_{i}\sigma_{i+1} + \frac{h}{2}(\sigma_{i} + \sigma_{i+1})[/math]
로 두었다. 여기서, 뜬금없이 [math]\exp(\beta V(\sigma_{i}, \sigma_{j}))[/math] [math](i,j = \pm 1)[/math]을 성분으로 가지는 행렬 [math]M_{\sigma_{i}, \sigma_{j}}[/math], 즉
[math]M_{1,1} = e^{\beta(J+h)}, M_{1,-1}=M_{-1,1} = e^{-\beta J}, M_{-1,-1} = e^{\beta(J-h)} [/math]
이라고 하면, 신기하게도 위에서 구했던 분배함수를
[math] Z = \sum_{\sigma_{1}=\pm 1} \cdots \sum_{\sigma_{N}=\pm 1} M_{\sigma_{1}, \sigma_{2}}M_{\sigma_{2}, \sigma_{3}} \cdots M_{\sigma_{N-1}, \sigma_{N}}M_{\sigma_{N}, \sigma_{1}} = Tr(M^{N}) [/math]
의 형태로 간략화시킬 수 있다. 여기에서 다음 행렬
[math]M = \left( \begin{array}{rr} e^{\beta(J+h)} && \;\; e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} \;\; && e^{\beta(J-h)} \end{array} \right)[/math]
을 전송행렬(Transfer Matrix)이라고 하고, 위와 같은 전송행렬을 이용한 풀이법을 전송행렬법(Transfer-Matrix Method)이라고 한다. 여기서 주어진 행렬 [math]M[/math]을 대각화함으로서 위 값을 쉽게 계산할 수 있다. 이 떄 대각화된 행렬을 [math]M_{diag}[/math], 그 대각성분(고유치)을 각각 [math]\lambda_{1}, \lambda_{2}[/math]라고 하면,
[math]Z = Tr(M^{N}) = Tr(M_{diag}^{N}) = \lambda_{1}^{N} + \lambda_{2}^{N}[/math]
이 된다. 한편으로, 고유치 [math]\lambda_{1}, \lambda_{2}[/math]는 [math]|M-\lambda I| = 0[/math]으로 쉽계 계산할 수 있으며, 그 값은
[math](e^{\beta (J+h)} - \lambda)(e^{\beta (J-h)} - \lambda) - e^{-2\beta J} = 0 \Rightarrow \lambda = e^{\beta J} \cosh (\beta h) \pm \sqrt{ e^{2\beta J} \sinh^{2}(\beta h) + e^{-2\beta J}}[/math]
가 된다. 여기서 [math]\lambda_{1} \gt \lambda_{2}[/math]라고 설정하면, 열역학적 극한([math]N \rightarrow \infty[/math])에서 [math]\lambda_{2}^{N}[/math] 는 [math]\lambda_{1}^{N}[/math]에 비해 무시할 수 있을 정도로 작은 값이 되므로, 상대적으로 0으로 취급할 수 있다. 이를 반영하면
[math]Z \simeq \lambda_{1}^{N} = \left[ e^{\beta J} \cosh (\beta h) + \sqrt{ e^{2\beta J} \sinh^{2}(\beta h) + e^{-2\beta J}} \right]^{N} [/math]
[math]z = e^{\beta J} \cosh (\beta h) + \sqrt{ e^{2\beta J} \sinh^{2}(\beta h) + e^{-2\beta J}} [/math]
가 된다. 여기서, [math]z[/math]는 스핀 하나의 분배함수이다. 이렇게 분배함수를 계산했으니, 이제 남은 일은 이 분배함수를 이용해서 쭉 해왔던 것처럼(...) 각종 열-통계역학 변수들을 계산하는 일이다.
통계역학의 관계식들을 이용하면 각종 통계역학 변수들을 쉽게 계산할 수 있지만, 여기서는 이 모델의 자성을 파악하고 싶으므로, 스핀 하나당 자화 [math]m[/math]를 계산해보도록 한다. 자화는 다음과 같이 주어진다.
[math] m = \left(\frac{\partial f}{\partial h}\right)_{T} = \frac{1}{\beta}\frac{\partial \ln z}{\partial h} [/math]
여기서 [math]f[/math]는 스핀 하나당 헬름홀츠 자유에너지를 나타낸다. 위 식을 계산하면,
[math] m = \frac{\sinh (\beta h)}{(\sinh^{2}(\beta h) + e^{-4\beta J})^{1/2} } [/math]
를 얻는다. 이 식에서 알 수 있듯이, 온도가 0보다 큰 영역에서 자기장을 변화시켜도 자화는 (특히 [math]m=0[/math] 부근에서) 연속적으로 변함을 알 수 있다.[8] 이는 자발적 자화를 만드는 상전이가 유한온도 영역에서 일어나지 않음을 의미하고, 1차원 이징 모형은 실제 자성을 설명하는 모델이 될 수 없음을 암시한다.
2.2 2차원 이징 모형과 풀이
2차원부터는 스핀의 배치가 1차원에 비해 굉장히 자유로워지고, 그에 따라 스핀의 분포에 따라 각 스핀에 인접하는 스핀의 수 등이 천차만별이지만, 여기서는 계산의 편의를 위해 어째 아까부터 계속 가정만 하는 거 같지만 스핀들이 정방형 격자점상에 규칙적으로 나열돼있다고 가정하자. 이렇게 되면, 한 스핀에 인접하는 스핀은 (스핀들이 존재하는 면을 위에서 봤을 때) 동서남북, 네 방향으로 각각 하나씩 존재하게 돼서 계산이 수월해진다.
2차원 이상부터는 이징모형을 통해 유한온도에서의 2차상전이를 예측할 수 있고, 이는 2차원 이상의 이징모형을 통해 실제의 자성체를 이해할 수 있다는 말이 되며, 이징 모형이 중요하게 평가받고 학부과정에서도 배우는 이유가 된다.
2.3 평균장 근사를 이용한 풀이
4차원 이상부터는 평균장 정리를 이용한 근사에 계산결과가 수렴함을 확인할 수 있으며, 여기에서도 유한온도에서의 상전이가 나타나지만 세부적인 특성은 2차원이나 3차원과는 다르다.
3차원의 경우는 위에 나와있듯이 해석적인해는 존재하지 않고, 오직 수치해석적인 계산만이 가능하다.
작성중- ↑ 이나마도 1차원, 2차원 이징 모형 한정이다. 3차원 이징 모형은 아직도 해석적인 해를 구하지 못했고, 4차원부터는 평균장 근사라는 테크닉을 써서 그나마 근사적인 해를 구할 수 있다.
- ↑ 물론 풀이과정 자체는
절대쉽지 않다. 1차원 이징 모형 계산만 해도 전송행렬법(Transfer-Matrix Method)이라는 혼자서는 절대 못 떠올릴만한(...) 테크닉을 써서 구하는 데다가, 2차원 이징 모형쯤 가면 정말 이런 걸 어떻게 생각했나 싶을 정도로 신기한 방법과 변수변환을 도입해가면서 풀어나간다. - ↑ 계산을 간편하게 하기 위해 인접한 스핀들간의 상호작용만 생각한다. 멀리 떨어진 스핀들간의 상호작용까지 고려하기 시작하면 사실상 이 문제를 해석적으로 풀 수 없다.
- ↑ 또는 파울리 스핀 행렬로 해석할 수 있다.
- ↑ 처음부터 [math]\sigma_{i} = \pm 1[/math]이 되도록 [math]J[/math]와 [math]h[/math]의 값을 정의했다고 봐도 된다.
- ↑ [math]\sigma_{i}[/math]를 처음부터 파울리 행렬로 간주하고 양자역학적으로 접근해서 계산하는 법도 있는데... 여기서는 일단 생략한다.
- ↑ 이렇게 해도 결과에 유의미한 차이가 나오지 않음을 보일 수 있다.
- ↑ 다만, [math]T \rightarrow +0[/math]의 경우, 즉 [math]\sinh^{2} (\beta h) \gg e^{-4\beta J}[/math]에서는 [math]m = 0[/math] 부근에서 불연속적인 변화가 일어난다.