통계역학

Statistical Mechanics

統計力學

1 개요

물리학의 한 분과. 계의 상태를 통계적인 방법론(확률론 등)에 따라서 해석하고 연구하는 분야이다. 주로 연구 대상의 계의 운동 상태(자유도)가 무척 많거나, 수많은 입자를 포함하고 있을 때 확률론 등을 도입해서 계의 운동을 통계적으로 해석해야 될 때 이용된다. 과목의 특성상 열역학과 밀접한 관계를 가지고 있어 자주 열역학과 세트로 엮이며,[1][2] 공대에서 주로 배우는 열역학과는 다르게 이쪽은 순수 물리학 전공에서 다뤄지는 경우가 많다. 학문의 발전에 따라 통계역학은 양자역학, 정보 이론 등의 분야와도 융합되어, 현대 물리에서는 어느 분야에서든지 약방의 감초(...) 식으로 통계적인 해석이 필요할 때 알게 모르게 섞여 들어가있는 경우가 많다.

2 내용

통계역학의 출발점은 '미시적 상태'와 '거시적 상태'를 구분하는 것에서 출발한다. 이를 가장 단순하게 이해하는 것은 고등학교 때 배운 순열과 조합을 떠올리면 된다. 순열이 미시적 상태, 조합이 거시적 상태에 대응된다. 미시적 상태는 분자 하나하나의 상태에 초점을 맞춘다면, 거시적 상태는 전체 계에서 각 상태가 차지하는 비중에 초점을 맞춘다.

여기에서 통계역학의 핵심이라고 할 수 있는 루트비히 볼츠만의 가설을 하나 더 추가한다. 에너지가 같은 미시적 상태는 모두 같은 확률로 존재한다는 그의 가설은 무수한 비판을 받았지만, 실험결과를 잘 설명하였고, 열역학의 결과도 그대로 유도되었기에(그 당시만 해도 열역학은 현상론적인 수준이었다) 결국 받아들여지게 되었다. 이 가설을 이용하여 어떤 계 내부에 존재하는 상태의 숫자를 직접 센다면, 미시 상태의 수가 가장 많은 경우의 거시 상태가 통계적으로 가장 일어날 확률이 높다고 할 수 있다.

이를 바탕으로 서로 다른 두 계가 연결될 때, 둘을 합친 새로운 계의 미시 상태를 최대로 할 수 있는 조건을 찾을 수 있다. 이 과정에서 유명한 볼츠만의 엔트로피의 정의가 등장하게 되며, 이를 바탕으로 온도를, 열역학 0법칙을 정의하게 된다. > [math] S=k_B \ln W [/math]

2.1 앙상블(Ensemble)

앙상블의 사전적인 정의는 유사한 특성을 갖는 무언가가 모인 집합체이다. 통계역학에서 이 "무언가"는 서로 다른 입자들의 계(system)에 해당한다. 반복하지만, 앙상블은 입자들의 집합이 아니라, 입자들의 계의 집합이다.
예컨대 N개의 입자로 이루어진 계를 생각하면, 이 계는 물리적 법칙을 만족하는 f(N)개의 서로 다른 형태로 존재할 수 있다. 이 때 f(N)개의 계 각각을 촬영한다고 생각하면, 이 "사진들의 집합"이 바로 앙상블이다.
고전역학적인 환경에서 각 계, 즉 각 사진들의 상태는, N개 입자 각각의 위치 q(3차원)와 운동량 p(3차원)로 이루어진 6N차원의 위상공간(phase space) 상의 각 점에 대응된다. 따라서 앞서의 가정은 곧 앙상블을 6N차원 위상공간의 각 점에서 발견할 확률은 모두 동일하다는 말과도 동치이다.
각 경우의 수가 의존하는 변수, 즉 "서로 다른 사진"인지를 판독하는 변수를, N,V,E로 설정한 경우 Microcanonical, N,V,T인 경우 Canonical, 화학 퍼텐셜 [math]\mu[/math],V,T인 경우 Grandcanonical 앙상블이라 한다. 이외에도 분석하고자 하는 계의 특성에 따라 임의로 거시적 물리량들을 선택하여 새로운 앙상블을 정의할 수 있다.

2.1.1 Microcanonical Ensemble

가장 기본적인 ensemble로 대부분의 통계역학 책에 제일 먼저 나온다. 이 ensemble은 기본적으로 미시적으로 엔트로피(entropy)를 정의한다. 더 나아가 이렇게 정의된 엔트로피를 이용해 다른 거시변수(macroscopic variable)를 구하는 방법을 알려준다. 우리는 이를 통해 온도, 압력, 화학포텐셜을 미시적인 값들을 통해 정의하는것을 가능하게 한다.

기본적으로 microcanonical ensemble 은 에너지, 입자개수, 그리고 부피가 고정된 계(system)를 상정한다. 그 후에 가능한 x, p 변수로 이루어진 phase space의 부피를 계산한다. 그러면 엔트로피를 다음과 같이 정의한다.
[math]S = k_B ln \frac{\text{volume of phase space}}{\hbar^D}[/math]
이때, [math]k_B[/math]는 볼츠만 상수, [math]\hbar[/math]는 플랑크 상수, 그리고 [math]D[/math]는 real space dimension이다. 이 정의를 이용해서, 온도를 다음과 같이 정의한다.
[math]\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E}[/math]
이렇게 정의된 온도는 실제 거시적으로 우리가 관찰하는 온도와 같은 값이된다. 여타 다른 거시변수도 엔트로피를 통해서 구할 수 있다.

2.1.2 Canonical Ensemble

N개의 입자가 있는 계를 생각해보자. [math]n_i[/math]와 [math]\epsilon\ _i\ [/math]를 각각 i 번째 상태인 입자의 수와 해당하는 에너지 값이라고 하면, 이 계 입자의 총 수 N과[3] 에너지 E가

[math] N=\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i [/math]
[math] E=\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i\ \epsilon\ _i\ [/math]

이렇게 주어지는 것은 자명하다. 이제, 앞서 나온 '볼츠만의 가설'을 토대로 생각해보자. N개의 입자들 중 [math] n_1 [/math]개를 선택하는데, 그 확률이 전부 같고 입자가 구분 불가능하다. 그렇다면 그 선택하는 방법의 개수는

[math] _NC_{n_1}=\displaystyle \ { \frac{ N !}{ (N-n_1 )! n_1 ! } } [/math]

개가 있다. 이제 남은 것들 중에서 [math] n_2 [/math] 개를 선택하려면?

[math]_{(N-n_1)}C_{n_2}=\displaystyle \ { \frac{ ( N - n_1) !}{ (N-n_1 - n_2 )! n_2 ! } } [/math] 가지의 방법이 있다. [math] n_1 , n_2 [/math]개를 각각 뽑는 경우의 수는 둘의 곱이며, [math] n_1 [/math]개 뽑을 때와 [math] n_2 [/math]개 뽑을 때 경우의 수를 곱하면 [math](N-n_1 )! [/math]이 약분되어
[math](_NC_{n_1})( _{N - n_1}C_{n_2}) =\displaystyle \ { \frac{ N !}{ (N-n_1 -n_2 )! n_1 ! n_2 !} } [/math]

개가 된다. 이런 식으로 하여 합이 N개가 될 때 까지 곱한다면, 그 경우의 수는

[math]W= \displaystyle \ { \frac{ N !}{ \prod_i\ n_i !} } [/math][4]

가 된다.

이 때 저 [math] n_i [/math]들을 뽑아놓은 계들을 모아놓아서 앙상블이라 한다. 즉, 앙상블 안에 총 [math]\displaystyle \ { \frac{ N !}{ (0)! \pi\ n_i !} } [/math]개의 계가 있는 것으로 보아도 무관하다.

보통 우리가 관심 있는 것은 [math] n_i[/math]의 분포이다. 어떤 식으로 알아낼까? 일단 주어진 조건들부터 생각해본다.

[math]N-\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i=0 [/math]
[math]{ E-\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i\ \epsilon\ _i} =0[/math]

딱 봐도 감이 오는가? 라그랑주 승수법을 하고싶어지지 않는가? 다만 이때 계산상의 편의와 몇몇 근사를 위해 [math]W[/math] 가 아니라 [math]Log W[/math] 에 대해 미분한다.

[math] \omega= Log W = Log \displaystyle \ { \frac{ N !}{\pi\ n_i !} } = Log N! -\displaystyle \sum_{i}^{}\ Log{(n_i !)}[/math]

여기에다가 스털링 근사를 적용하면[5]
[math] \omega = Log N! -\displaystyle \sum_{i}^{}\ Log{(n_i !)}=Log N! -\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i Log{n_i }- {\lambda\ _1}(E-\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i \epsilon\ _i) - {\lambda\ _2}(N-\displaystyle \sum_{i}^{}\ n_i) [/math]
이제 특정 [math]n_\alpha[/math]를 구하기 위해 [math]n_i[/math]로 편미분하자. [math]\omega[/math]나 [math]N[/math] ,[math]E[/math]는 [math]n_\alpha[/math]에 대해 상수이므로

[math]0=log n_i -1-\lambda\ _1 \epsilon\ _\alpha - \lambda\ _2 [/math]
[math]n_\alpha = e^{1+\lambda\ _{1} \epsilon\ _\alpha + \lambda\ _2}[/math]

를 대입한다. 이때 [math] 1+ \lambda\ _2[/math]는 [math]\alpha[/math]에 무관하므로 [6] [math]Z= e^{1+\lambda\ _{2}}[/math][7]라는 상수로 놓아도 무방하다. 따라서 [math] N=\displaystyle \sum_{\alpha}^{}\ n_\alpha = Z \displaystyle \sum_{\alpha}^{}\ e^{\lambda\ _{1} \epsilon\ _\alpha}[/math]

[math]n_{\alpha} = \displaystyle \ {\frac{\sum_{\alpha}^{}\ e^{\lambda_{1} \epsilon_\alpha}}{Z}}[/math]

2.1.3 Grandcanonical Ensemble

2.2 고전 통계역학

맥스웰 - 볼츠만 분포

2.3 양자 통계역학

2.3.1 페르미 디락 분포

스핀이 반정수인 페르미온이 따르는 통계적 분포이다.
[math] \displaystyle N(E) = {1 \over exp{-(E-\mu) \over kT} +1} [/math]

고체물리에서 전자의 에너지에 따른 확률분포 계산에서 자주 사용되며, 이때의 전자가 존재할 확률이 1/2이 되는 에너지를 페르미 준위라고 한다.

2.3.2 보스 아인슈타인 분포

스핀이 정수인 보손이 따르는 분포이다.
[math] \displaystyle N(E) = {1 \over exp{-(E-\mu) \over kT} -1} [/math]

2.4 복잡계 및 상전이

3 기타

물리학과에서 개설될 경우 학부 3학년 과목이다.

4 교재

  • Kittel - Thermal Physics, W. H. Freeman

통계역학 스탠다드 교재 중 하나. 많은 열-통계물리 서적들이 비교적 직관적으로 알기 쉬운 열역학부터 시작해서 나중에 통계역학 이론과 같이 합치는 데 반해 이 책은 통계역학적인 기초부터 쌓아올리는 게 특징,

  • Reif - Fundamentals of Statistical and Thermal Physics

아담한 사이즈의 전공서적. 좋게 말하면 설명이 많고, 나쁘게 말하면 쓸데없이 글자가 많은 느낌(...) 소설책 읽듯이 쭉 읽어내려갈 수 있는 책. (개인적으로 소설책처럼 읽기에는 다소 무리가 있다) 이 책은 다른 통계역학책에 비해서 수학적인 증명과 논리를 사용하여 설명한다 그리고 첫장을 random walk를 확률 통계의 서문을열고 방점을 찍는것으로 1장을 마무리짓는다 수학적으로 물리를 접근하기 좋아하는 학생이라면 매오 마음에 들만한 책이다 양자역학적인 기초가 없으면 중간중간 나오는 양자역학적 접근에 당황할수도.

  • Stephen J. Blundell, Katherine M. Blundell - Concepts in Thermal Physics

위 서적들에 비해 수식적으로 엄밀하게 써 내려가는 느낌이 강한 책이다. 통계역학에서 종종 쓰는 괴상한(...) 근사법이 영 마음에 들지 않는 사람들은 한번쯤 읽어봐도 될듯.

  • Plischke, Bergersen - Equilibrium Statistical Physics

대학원 수준 통계물리 서적. 기초적인 열통계물리 및 양자역학에 대한 이해가 없으면 이해하기 힘들다. 상전이부터 시작해서 이징 모형, 란다우 이론 등 현대 물성물리 관련 내용을 통계역학적으로 해석하는 흐름을 파악할 수 있는 책.

  • Mcquarrie - statistical mechanics

물리화학 저자로 이름있는 맥쿼리의 책. 이 책은 수학적으로의 엄밀성을 추구하는것 대신 개념중심으로 내용을 전개하는 방식이다. 화학자 답게 일반적으로 다루지않는 주제도 볼 수 있다 액체라든가 perturbation theory도 볼수있으며 뒷부분에는 분광학의 내용도 나온다.

5 관련 문서

  1. ↑ 대표적으로 열역학에서 중요하게 쓰이는 온도, 엔트로피 등의 파라미터들을 통계역학에서 순수하게 이론적으로 재정의하며, 그게 열역학에서의 정의와 일치함을 보일 수 있다. 열역학이 눈에 보이거나 측정할 수 있는 수치들을 바탕으로 거시적으로 접근한다면, 통계역학에서는 원자 단위에서부터 출발하여 미시적으로 접근한다는 것이 차이.
  2. ↑ 사실상, 현대에 와서는 열역학-통계역학 사이의 구분이 다소 모호해진 감도 있다. 물리학과 학부 과정에서의 통계역학 강좌들을 보면 통계-열-역학(또는 물리) 단어가 대학별로 교수별로 마구마구(...) 짬뽕되어 개설되곤 한다.
  3. ↑ 통계물리학에서는 일반적으로 입자 수가 매우 많은 경우, 즉 [math] N\to\infty [/math]인 경우를 다룬다.
  4. ↑ 0!=1
  5. ↑ 충분히 큰 N에 대해, [math] Log N!\to\ NLog N[/math]
  6. ↑ [math] \lambda\ _{1}[/math]은 에너지 고유값 앞에 곱해져있어 에너지에 따라, 즉 알파에 따라 항이 변한다
  7. ↑ 이를 partition function 이라고 한다
  8. ↑ 통계역학도 다룬다