원뿔곡선

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원뿔곡선
Conic section


기벡 공부하다 온 사람있다

위 아래로 연장된 직원뿔을 평면으로 잘랐을 때 나오는 곡선을 의미한다. 그리스 수학자 아폴로니우스(Apollonius of Perga)에 의해 연구되었다. 후대에 해석기하학의 발전으로 이 곡선들이 정확히

$$x$$ 와 $$y$$ 에 대한 일반적인 이차곡선, 즉 $$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey +Ff = 0$$ 꼴로 표현됨이 증명되었고, 원뿔곡선과 이차곡선이 구분없이 쓰이게 되었다.

1 아폴로니우스의 원뿔곡선

아폴로니우스는 원뿔면과 절단면이 이루는 각도를 기준으로, 원뿔곡선을 타원, 포물선, 쌍곡선의 세 종류로 다음과 같이 분류하였다.

• 절단면과 원뿔면이 평행하면 첫 번째 그림처럼 포물선(parabola)을 잘라낸다
• 절단면이 원뿔면보다 기울어져 있으면 타원(ellipse)을 잘라낸다. 닫힌 곡선 하나의 형태로 나타난다. 원은 타원의 특수한 형태로, 절단면이 원뿔의 회전중심과 수직할 때 나타난다.
• 절단면이 원뿔면과 수직하고 있으면 쌍곡선(hyperbola)을 잘라낸다. 직원뿔의 위아래에서 모두 곡선을 잘라내고, 따라서 쌍곡선은 말굽 형태의 곡선 둘이 마주보는 형태이다.

타원, 포물선, 쌍곡선의 영어이름인 ellipse, parabola, hyperbola도 아폴로니우스의 작명으로, '모자란', '알맞은', '넘는'의 뜻을 담아 지은 것이다.

아폴로니우스는 또한 이들에 대해 다음과 같은 기하학적 성질들을 찾아내었다.

• 원 : 한 점(초점)에서 특정 거리만큼 떨어진 점들의 집합.
• 타원 : 평면상의 고정된 두 점(초점)으로부터 거리의 합이 일정한 모든 점들의 집합.
• 포물선 : 평면상의 어떤 선과(준선)의 거리와 고정점(초점)으로부터의 거리가 서로 같은 점들의 집합.
• 쌍곡선 : 평면상의 고정된 두 점(초점)으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합.

흥미로운 것은 이들 모두가 당들랭의 구(Dandelin Spheres)라는 동일한 방법으로 증명될 수 있다는 것이다. 현재에는 이들을 위 원뿔곡선들의 정의로 쓰고 있다.

2 좌표평면에서의 이차곡선

원래부터 연구되던 것이 좌표 도입에 따라 덜컥 들어맞은 사례 중 하나. 일반적인 이차곡선은

$$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$ 형태의 곡선을 말한다. 특수한 경우들을 제외하면 이 이차곡선은 항상 원뿔곡선의 형태로 나타나고, 역으로 모든 원뿔곡선은 이차곡선의 형태로 나타낼 수 있다. 정확히는 판별식 ( $$D=b^2 - 4ac$$ ) 가 양수인지, $$0$$ 인지, 음수인지에 따라 타원, 포물선, 쌍곡선인지가 결정되고, 이러한 경우에는 적절하게 이차곡선을 회전시켜주면 이차곡선의 축이 좌표축과 평행하게 할 수가 있다. 고교과정에서는 이 내용은 어려우므로, 이차곡선의 축이 x 또는 y 좌표축과 평행한 경우, 즉 $$b = 0$$ 인 경우만을 다룬다.

이차곡선의 회전과 같은 경우는 대칭행렬의 대각화와 같이 볼 수 있다.

$$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$ 에서 cot 2θ = $$\left({a-c \over b}\right)$$ 가 되는 θ를 잡아서 x→Xcos(θ)−Ysin(θ),y→Xsin(θ)+Ycos(θ)를 대입해주면 $$XY$$ 항의 계수가 0이되게 할 수 있다.

2.1 이차곡선의 표준형과 일반형

고교수학 기하와 벡터 과목에서 다루는

$$B = 0$$ 인 경우는 이차곡선을 평행이동을 통해 중심을 원점으로 옮기고, 식을 다음과 같이 표준형으로 바꾸곤 한다. 표준형으로 바꾸면 이차곡선에 대해 더 많은 정보를 얻을 수 있다.

• 원

표준형의 방정식은

$$x^2 + y^2 = r^2$$ 으로, 원점을 중심으로 하고 반지름이 $$r$$ 인 원을 나타낸다.

• 타원

표준형의 방정식은

$$\left({x \over a}\right)^2 + \left({y \over b}\right)^2 = 1$$ ( $$a,b\gt0$$ ). 원점이 중심이다.
a>b인 경우에는 x축으로 길쭉한 모양이고, 이 때 x축 방향의 너비를 장축이라 하고 y축 방향의 너비를 단축이라 한다. 장축과 단축의 길이는 각각 $$2a$$ 와 $$2b$$ . 이 타원의 초점은 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$ 에 대해 장축 위의 두 점 $$\left(c, 0\right)$$ , $$\left(-c, 0\right)$$ 에 있고, 두 초점 사이의 거리인 초점거리는 $$2c$$ 로 주어진다.

• 포물선

표준형의 방정식은

$$y^2 = 4px$$ (p > 0). 중심축이 x축이고 원점을 꼭지점으로 갖는 포물선이다. 중심축이 y축인 경우(이차함수 등등)을 다루기 위해서는 $$x^2 = 4py$$ 로 쓰기도 한다.
이 경우에 초점은 $$\left(p, 0\right)$$ 이고, 준선은 방정식 $$x = -p$$ 로 주어진다.

• 쌍곡선

표준형의 방정식은

$$\left({x \over a}\right)^2 - \left({y \over b}\right)^2 = 1$$ ( $$a,b \gt 0$$ ).
이 경우에 초점은 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ 에 대해 $$\left(c,\,0\right)$$ , $$\left(-c, 0\right)$$ 에 있고, 초점거리는 $$2c$$ . 두 개의 점근선 $${x \over a} \pm {y \over b}$$ 을 갖는다.
특수한 형태로, 초등학교 고학년에서부터 언급되는 $$y = ax^{-1} + b$$ . b가 0일 경우 원점을 기준으로 하고 x=0, y=0을 점근선으로 하는 쌍곡선 형태이다. 나중에 회전을 배우면 왜 위의 쌍곡선을 45도 돌리면 이 꼴로 바뀌는지 알 수 있다.

2.2 이심률

모든 이차곡선을 나타내는 재미있는 방법으로 다음과 같은 것이 있다. 포물선의 정의를 살짝 비튼 다음의 정의를 생각하자.

• 평면상의 어떤 선과(준선)의 거리와 고정점(초점)으로부터의 거리와의 비율이 $$e$$ 인 집합

이 집합은

$$e\lt1$$ , $$e=1$$ , $$e\gt1$$ 일 때 각각 타원, 포물선, 쌍곡선을 나타내며, 모든 이차곡선을 이렇게 나타낼 수 있다. ( $$e=0$$ 일 때는 원으로 생각하기로 한다.) 이 숫자 $$e$$ 를 이차곡선의 이심률(eccentricity)이라 한다.

3 실생활에서의 응용

뉴턴의 만유인력의 법칙을 따르는 행성의 궤도를 계산하면 항상 이차곡선이 된다.쌍곡선은? 사실 외곡선이다. 이로서 모든 행성이 타원 궤도를 그리며 공전한다는 케플러의 1법칙이 설명된다.

파라볼라(parabola) 안테나가 포물선 모양으로 만들어진 것은, 포물면을 향해 똑바로 들어오는 선들은 반사되어 모두 초점으로 모인다는 기하학적 성질을 응용한 것이다.

재미있는 사실 중 하나로, 포물선과 쌍곡선은 해석적으로 정확히 길이를 구할 수 있는데 비해 정작 가장 단순해보이는 타원은 해석적으로 정확히 길이를 구할 수가 없다. 괜히 타원의 둘레 길이를 구하는 데에 타원적분이 쓰이는 게 아니다!