목차
[숨기기]1 개요
Ellipse. 기하학에 등장하는 도형의 일종. 수학적 정의는 '2차원 평면의 두 점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합'이다. 그러므로 원 역시 초점이 일치하는 하나의 타원으로 볼 수 있다.
원뿔곡선 중 가장 간단한 형태로, 원을 잡아늘려서 만들 수도 있다. 두 개의 초점을 지나는 긴 축을 장축, 두 개의 초점을 잇는 선분을 수직이등분하는 짧은 축을 단축이라고 한다. 각 축의 끝부분을 4개의 꼭짓점이라고 부른다. 타원의 찌그러진 정도는 이심률과 편평도로 나타낸다.
원점(0,0)이 타원의 장축과 단축이 만나는 점이고, 각 축이 x축이나 y축과 일치할 때의 타원의 방정식은 (xa)2+(yb)2=1 로 표현 할 수있다. 면적은 abπ이다.
2 타원 둘레 길이
타원 둘레 길이를 구하는 과정은 정신건강에 매우 해롭다 꽤 복잡한 편이다. 일반적인 초등함수[1]의 형태로 나타낼 수 없으며, 타원 적분의 형태로 나타난다.
타원 (xa)2+(yb)2=1 (a > b > 0이라고 가정한다.)
x=asinθ,y=bcosθ,0≤θ≤2π
둘레의 길이 L은
L =∫π204√(dxdθ)2+(dydθ)2dθ
=∫π204√a2cos2θ+b2sin2θdθ
=∫π204√a2+(b2−a2)sin2θdθ
=∫π204a√1−(1−b2a2)sin2θdθ
여기서 k 를 √1−b2a2 (타원의 이심률)로 치환해주면
=∫π204a√1−k2sin2θdθ
=4aE(k)
E(k) 를 제2종 타원적분이라고 하고
E(k)
=∫π20√1−k2sin2θdθ
=∫10√1−k2x2√1−x2dx
=∫101−k2x2√(1−x2)(1−k2x2)dx
이다. 참 쉽죠?
행성의 공전 궤도가 타원인 고로 천문학에서 이런 적분이 그야말로 물 쓰이듯 쓰인다.
3 관련항목
출처- 이동 ↑ 중고등학교 교육과정에서 언급하는 함수의 조합으로 표현 불가능한 함수