Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

타원

1 개요

Ellipse. 기하학에 등장하는 도형의 일종. 수학적 정의는 '2차원 평면의 두 점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합'이다. 그러므로 역시 초점이 일치하는 하나의 타원으로 볼 수 있다.

원뿔곡선 중 가장 간단한 형태로, 을 잡아늘려서 만들 수도 있다. 두 개의 초점을 지나는 긴 축을 장축, 두 개의 초점을 잇는 선분을 수직이등분하는 짧은 축을 단축이라고 한다. 각 축의 끝부분을 4개의 꼭짓점이라고 부른다. 타원의 찌그러진 정도는 이심률편평도로 나타낸다.

원점(0,0)이 타원의 장축과 단축이 만나는 점이고, 각 축이 x축이나 y축과 일치할 때의 타원의 방정식은 (xa)2+(yb)2=1 로 표현 할 수있다. 면적은 abπ이다.

2 타원 둘레 길이

타원 둘레 길이를 구하는 과정은 정신건강에 매우 해롭다 꽤 복잡한 편이다. 일반적인 초등함수[1]의 형태로 나타낼 수 없으며, 타원 적분의 형태로 나타난다.

타원 (xa)2+(yb)2=1 (a > b > 0이라고 가정한다.)

x=asinθ,y=bcosθ,0θ2π

둘레의 길이 L은

L =π204(dxdθ)2+(dydθ)2dθ
=π204a2cos2θ+b2sin2θdθ
=π204a2+(b2a2)sin2θdθ
=π204a1(1b2a2)sin2θdθ

여기서 k 를 1b2a2 (타원의 이심률)로 치환해주면
=π204a1k2sin2θdθ
=4aE(k)

E(k) 를 제2종 타원적분이라고 하고

E(k)
=π201k2sin2θdθ
=101k2x21x2dx
=101k2x2(1x2)(1k2x2)dx

이다. 참 쉽죠?

행성의 공전 궤도가 타원인 고로 천문학에서 이런 적분이 그야말로 물 쓰이듯 쓰인다.

3 관련항목

출처
  1. 이동 중고등학교 교육과정에서 언급하는 함수의 조합으로 표현 불가능한 함수