타원

• 수학 관련 정보

1 개요

Ellipse. 기하학에 등장하는 도형의 일종. 수학적 정의는 '2차원 평면의 두 점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합'이다. 그러므로 원 역시 초점이 일치하는 하나의 타원으로 볼 수 있다.

원뿔곡선 중 가장 간단한 형태로, 원을 잡아늘려서 만들 수도 있다. 두 개의 초점을 지나는 긴 축을 장축, 두 개의 초점을 잇는 선분을 수직이등분하는 짧은 축을 단축이라고 한다. 각 축의 끝부분을 4개의 꼭짓점이라고 부른다. 타원의 찌그러진 정도는 이심률과 편평도로 나타낸다.

원점(0,0)이 타원의 장축과 단축이 만나는 점이고, 각 축이 x축이나 y축과 일치할 때의 타원의 방정식은 [math] ({x \over a})^2 + ({y \over b})^2 = 1 [/math] 로 표현 할 수있다. 면적은 abπ이다.

2 타원 둘레 길이

타원 둘레 길이를 구하는 과정은 정신건강에 매우 해롭다 꽤 복잡한 편이다. 일반적인 초등함수의 형태로 나타낼 수 없으며, 타원 적분의 형태로 나타난다.

타원 [math] ({x \over a})^2 + ({y \over b})^2 = 1 [/math] (a > b > 0이라고 가정한다.)

[math] x = a \sin \theta , y = b \cos \theta , 0 \leq \theta \leq 2 \pi [/math]

둘레의 길이 L은

L [math] = \int_{0}^{\pi \over 2} 4 \sqrt{({dx \over d \theta})^2 + ({dy \over d \theta})^2} d \theta [/math]
[math] = \int_{0}^{\pi \over 2} 4 \sqrt{ a^2 \cos {}^2 \theta + b^2 \sin {}^2 \theta } d \theta [/math]
[math] = \int_{0}^{\pi \over 2} 4 \sqrt{ a^2 + (b^2 - a^2)\sin {}^2 \theta } d \theta [/math]
[math] = \int_{0}^{\pi \over 2} 4a \sqrt{ 1 - (1 - {b^2 \over a^2})\sin {}^2 \theta } d \theta [/math]

여기서 k 를 [math] \sqrt{1 - {b^2 \over a^2}} [/math] (타원의 이심률)로 치환해주면
[math] = \int_{0}^{\pi \over 2} 4a \sqrt{ 1 - k^2 \sin {}^2 \theta } d \theta [/math]
[math]= 4aE(k) [/math]

[math] E(k) [/math] 를 제2종 타원적분이라고 하고

[math] E(k) [/math]
[math] = \int_{0}^{\pi \over 2} \sqrt{ 1 - k^2 \sin {}^2 \theta } d \theta [/math]
[math] = \int_{0}^{1} {{\sqrt{ 1 - k^2 x^2}} \over \sqrt{1 - x^2}} dx [/math]
[math] = \int_{0}^{1} {{1 - k^2 x^2} \over \sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2 x^2)}} dx [/math]

이다. 참 쉽죠?

행성의 공전 궤도가 타원인 고로 천문학에서 이런 적분이 그야말로 물 쓰이듯 쓰인다.

3 관련항목

• 타원곡선사실 그다지 상관 없다(...)
• 원뿔곡선
• 적분
• 미분

출처