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이항연산

2학년산

1 개요

두 개의 항으로부터 결과를 얻어내는 연산. 가장 간단한 예로 덧셈, 곱셈, 지수 등이 있다. 기본적으로 우리가 사용하는 연산은 대부분 이항 연산이다. 1+2+3은 얼마냐고 물어봤을 때 세 개를 동시에 계산하여 삼항연산(?)을 통해 6이 된다고 생각하겠지만, 우선 앞에 두 수를 더해서 (1+2)+3이 되고 다시 두 수를 더해 3+3이 되어 6이 되는 것이다. 초등학교를 나온 사람이라면 기본적으로 덧셈이라는 연산에 대해 훈련이 되어 있기 때문에 이 과정을 의식하지 못하는 것 뿐이다.

2 수학적 정의

집합 S가 있을 때, S에서 닫혀 있는 이항 연산은 다음과 같은 함수를 말한다.

:S×SS[1]

S의 원소 a, b를 이항연산한 결과를 일반적인 함수처럼 전위표기법을 써서 (a,b)으로 나타낼 수도 있지만, 보통의 이항연산은 중위표기법을 사용해 ab와 같이 많이 나타낸다.

3 결합법칙

(ab)c=a(bc)가 항상 성립할 때, 이 이항연산은 결합법칙을 만족한다고 한다.

4 항등원

집합 S의 원소 중에 원소 e가 존재하여 ae=ea=a가 항상 성립할 때 e를 이 이항연산의 항등원이라고 부른다.

5 역원

항등원 e가 있을 때, aa=aa=e가 성립하는 a이 있으면 aa의 역원이라고 한다. aa의 값에 따라 다를 수 있다.

6 군(group)

1. 집합 G에 이항연산 가 정의되어 있고, (물론 닫혀 있어야 한다.)
2. 가 결합법칙을 만족하고,
3. G가 항등원을 가지고 있고,
4. G의 모든 원소들이 각각 역원을 가지고 있을 때,
(G,)가 군(group)을 이룬다고 한다. 여기서 이항연산이 인 것이 뻔할 때에는 그냥 "G가 군을 이룬다", 혹은 "G는 군이다"라고 한다.

ab=ba가 항상 성립할 때 교환가능하다고 하는데, 이런 연산을 가진 그룹은 가환군(abelian group)이라고 부르며, 정수라는 집합에 주어진 덧셈이 가장 잘 알려진 예제다. 항등원은 0, n의 역원은 n.
  1. 이동 S×S={(x,y)|x,yS}