이항연산

2학년산


1 개요

두 개의 항으로부터 결과를 얻어내는 연산. 가장 간단한 예로 덧셈, 곱셈, 지수 등이 있다. 기본적으로 우리가 사용하는 연산은 대부분 이항 연산이다. [math]1+2+3[/math]은 얼마냐고 물어봤을 때 세 개를 동시에 계산하여 삼항연산(?)을 통해 [math]6[/math]이 된다고 생각하겠지만, 우선 앞에 두 수를 더해서 [math](1+2)+3[/math]이 되고 다시 두 수를 더해 [math]3+3[/math]이 되어 [math]6[/math]이 되는 것이다. 초등학교를 나온 사람이라면 기본적으로 덧셈이라는 연산에 대해 훈련이 되어 있기 때문에 이 과정을 의식하지 못하는 것 뿐이다.


2 수학적 정의

집합 [math]S[/math]가 있을 때, [math]S[/math]에서 닫혀 있는 이항 연산은 다음과 같은 함수를 말한다.

[math]*: S \times S \rightarrow S[/math][1]

[math]S[/math]의 원소 [math]a[/math], [math]b[/math]를 이항연산한 결과를 일반적인 함수처럼 전위표기법을 써서 [math]* \left( a, b \right)[/math]으로 나타낼 수도 있지만, 보통의 이항연산은 중위표기법을 사용해 [math]a * b[/math]와 같이 많이 나타낸다.


3 결합법칙

[math]\left( a * b \right) * c = a * \left( b * c \right)[/math]가 항상 성립할 때, 이 이항연산은 결합법칙을 만족한다고 한다.


4 항등원

집합 [math]S[/math]의 원소 중에 원소 [math]e[/math]가 존재하여 [math]a * e = e * a = a[/math]가 항상 성립할 때 [math]e[/math]를 이 이항연산의 항등원이라고 부른다.


5 역원

항등원 [math]e[/math]가 있을 때, [math]a * a' = a' * a = e[/math]가 성립하는 [math]a'[/math]이 있으면 [math]a'[/math][math]a[/math]의 역원이라고 한다. [math]a'[/math][math]a[/math]의 값에 따라 다를 수 있다.


6 군(group)

1. 집합 [math]G[/math]에 이항연산 [math]*[/math]가 정의되어 있고, (물론 닫혀 있어야 한다.)
2. [math]*[/math]가 결합법칙을 만족하고,
3. [math]G[/math]가 항등원을 가지고 있고,
4. [math]G[/math]의 모든 원소들이 각각 역원을 가지고 있을 때,
[math]\left( G, * \right)[/math]가 군(group)을 이룬다고 한다. 여기서 이항연산이 [math]*[/math]인 것이 뻔할 때에는 그냥 "[math]G[/math]가 군을 이룬다", 혹은 "[math]G[/math]는 군이다"라고 한다.


[math]a*b = b*a[/math]가 항상 성립할 때 교환가능하다고 하는데, 이런 연산을 가진 그룹은 가환군(abelian group)이라고 부르며, 정수라는 집합에 주어진 덧셈이 가장 잘 알려진 예제다. 항등원은 [math]0[/math], [math]n[/math]의 역원은 [math]-n[/math].
  1. [math]S \times S = \left \{ \left( x, y \right) |x, y \in S \right \}[/math]