2009 교육과정 기준으로 자연 계열의 기하와 벡터 과목 3단원에 해당 되는 내용이다. 주로 공간벡터와 함께 활용되어 대학수학능력시험에서 괴랄한 난이도로 출제되는 29번의 단골 손님이다.
1 정의
정사영(正射影)이란 어떤 한 도형에 대해 그 도형의 모든 점에서 한 평면 위로 내린 수선의 발을 뜻한다.
위 그림에서 세 도형에서 밑으로 수선의 발을 내려보면 정사영이 나오게 된다.
얼핏 보면 평면 위로의 그림자와 매우 유사해 보인다. 실제로 위의 그림에서도 위쪽에 불빛이 있다고 가정하고 생각하면 정사영된 도형은 그림자와 같다. 그러나 엄밀히 말했을 때 정사영과 그림자는 다른 것이다.
2 공식
사실 공식이라고 하기도 민망할 정도로 간단하다.그러나 문제는 전혀 간단하지 않다
2.1 길이에 대한 공식
직선 AB의 길이를 [math] l [/math], 직선 A'B' 의 길이를 [math] l' [/math]이라고 할 때, 다음과 같은 식이 성립하게 된다
[math] l^{\prime} = l \cos\theta [/math]
이는 직선 AB를 밑으로 끌어내려 점 A와 점 A'을 만나게 할 경우
삼각 함수의 정의에 의해
[math] \cos\theta = \frac{l^{\prime}}{l} [/math]이라는 식이 성립 하기 때문이다.
2.2 면적에 대한 공식
삼각형 ABC의 넓이를 S, 정사영의 넓이를 S'라고 두자. 또 직선 BC의 길이를 [math] l [/math], 점 A에서 직선BC 까지의 거리를 h라고 하자.
이때 직선 BC는 평면과 평행 하기 때문에 정사영 직선 B'C'의 길이도 [math] l [/math]이 된다. 그런데 h는 평행하지 않기 때문에 정사영되어 [math] h \cos\theta [/math]가 된다.
이때,
[math] S = \frac{1}{2} lh [/math] [math] S^{\prime} = \frac{1}{2}\cos\theta [/math] [math] S^{\prime} = S \cos\theta [/math]
임을 알 수 있다.
- 쉽게 생각하면 길이의 공식에서 h만 S로 바꾸면 된다.
3 정사영과 내적의 관계
벡터의 내적 공식은
[math] a \cdot b = |a| \cdot |b| \cos\theta [/math]
여기서 [math] |b| \cos\theta [/math]를 함께 묶게 되면, 이 값은 벡터 b의 벡터 a에로의 정사영의 길이가 된다.
따라서 두 벡터의 내적 값은, 한 벡터와 다른 한벡터의 정사영의 길이로 생각 할 수 있다.