정자기학

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1 개요

Magnetostatics
자기장이 시간에 따라 변하지 않는 상황을 다루는 전자기학(Electromagnetism)의 하위 분야.
정자기학에서는 자기장의 근원인 전류가 시간에 따라 변하지 않으며, 특정 지점에서 전하가 쌓이지 않아야 한다.

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  • 맥스웰 방정식
• 관련 항목
  • 비오-사바르 법칙
  • 앙페르 법칙
  • 정전기학

2 조건

위의 개요에 주어진 조건을 수식으로 나타내면 아래와 같이 써진다.

$$\displaystyle \frac{\partial \vec{J}}{\partial t}=0\, \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0$$
$$\displaystyle \oint \vec{J} \cdot d\vec{a}=0,\ \nabla \cdot \vec{J}=0 \rightarrow \frac{\partial \rho}{\partial t}=0$$
또한 전기장의 시간 변화도 0이 되어야 한다.
$$\displaystyle \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0$$
그러면 맥스웰 방정식 중 앙페르-맥스웰 법칙과 패러데이 법칙이 간단하게 써진다.
$$\displaystyle \nabla \times \vec{B}-\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\mu_0\vec{J} \rightarrow \nabla \times \vec{B}=\mu_0\vec{J},\ \oint \vec{B} \cdot d\vec{s}=\mu_0 I_{\text{in}}$$ (→앙페르 법칙)
$$\displaystyle \nabla \times \vec{E}+\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0 \rightarrow \nabla \times \vec{E}=0,\ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s}=0$$

한 마디로 시간 미분 항이 완전히 사라진다고 생각하면 된다.

3 정자기학에 가까운 조건

사실 정전기학과 마찬가지로 정자기학의 조건과 완벽히 일치하는 상황은 현실세계에는 없다. 전류와 자기장이 시간이 흘러도 전혀 변하지 않는 건 있을 수 없기 때문이다. 하지만 일상생활에서는 전자기파나 빛을 다룰 때를 제외하면 대개 전기장과 자기장의 시간 변화로 인한 영향을 무시할 수 있다.

이유는 아래와 같다. 맥스웰 방정식은 해당 문서에서 소개되었듯이 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜로 나타낼 수 있다.

$$\displaystyle \left(\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}- \nabla^2 \right)\vec{A}=\mu_0\vec{J}$$
$$\displaystyle \left(\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}- \nabla^2 \right)\phi=\mu_0\rho$$
위 미분 연산 중 시간 미분 항은 $$c^{-2}$$ 을 포함하고 있다. 광속의 제곱 값으로 인해 시간 미분 값이 라플라시안보다 훨씬 작아서 묻혀버린다. 그러면 위 두 방정식은 정전기학과 정자기학의 조건으로 나타난다.

일반적인 교류 회로를 예로 들자면 교류는 대개 60Hz를 넘지 않는다. 전자기파가 장파 기준으로도 최소 수십kHz 이상임을 감안할 때 이 정도 주파수는 매우 작다. 축전기에서 전자기 진동으로 인하여 에너지가 바깥으로 송출되지 않는 이상 교류 회로 역시 정자기학과 거의 맞아 떨어진다. 고로 앙페르 법칙과 비오-사바르 법칙 등을 별 탈 없이 쓸 수 있다.