벡터 퍼텐셜

1 개요

물리학에서 비발산장(solenoidal field) [math]\vec{F}(x,y,z)[/math]가 주어질 때, 어떤 벡터 함수[math]\vec{A}(x,y,z)[/math]의 회전(curl)이 원래 주어진 장으로 나오면 [math]\vec{A}(x,y,z)[/math]를 벡터 퍼텐셜(vector potential)이라 한다.

[math] \vec{\nabla} \cdot\vec{F}=0 \Leftrightarrow \vec{F}=\vec{\nabla} \times\vec{A} [/math]
이렇게 쓸 수 있는 이유는 회전 연산의 발산은 언제나 0이기 때문이다.

비발산장의 대표적인 예로 자기장이 있으므로 여기서는 자기 벡터 퍼텐셜(magnetic vector potential)에 대하여 서술한다.

2 자기장의 성질

자기장은 전기장과는 달리 발산 연산의 결과가 언제나 0이다. 따라서 자기장은 어떤 벡터 함수의 회전 연산 꼴로 나타낼 수 있다.
[math] \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 \Leftrightarrow \vec{B}=\vec{\nabla} \times\vec{A} [/math]

3 정자기학에서의 벡터 퍼텐셜

정전기학에서는 전기장이 비회전장(irrotational field)이기 때문에 스칼라 형태의 전기 퍼텐셜을 도입할 수 있다. 전기 퍼텐셜은 스칼라이기 때문에 벡터인 전기장보다 다루기 쉽고, 또 '단위 전하당 퍼텐셜 에너지'로 해석할 수 있어서 매우 유용한 물리량이다. 하지만 여기서 도입하는 벡터 퍼텐셜은 자기장과 마찬가지로 벡터 형태이기 때문에 큰 쓸모가 있지는 않는다.

그렇지만 잘 다루면 전기 퍼텐셜과 비슷한 모양으로 전개해 나갈 수 있다. 단지 성분이 [math]x, y, z[/math]로 갈라질 뿐이다.

우선 자기장의 앙페르 법칙을 벡터퍼텐셜로 나타내면 아래와 같이 전개된다.

[math] \mu_0\vec{J} = \vec{\nabla}\times\vec{B} = \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})-\nabla^2 \vec{A} [/math]

여기서 [math](\vec{\nabla}\cdot\vec{A})[/math] 부분을 0으로 정할 수 있다.
자기장은 '물리적으로 관측되는' 양 중 하나이며 A는 위 방정식에서 이끌어내고자 하는 양이다. 즉 일종의 미분방정식이며, A를 구한다는 것은 미분 연산을 거꾸로 거스른다는 의미가 있다.
통상 다루어지는 미분과 같다. 두 함수의 도함수가 동일하다면 두 함수의 차이는 상수이다.
[math] \displaystyle {df \over dx} = {dg \over dx} \Leftrightarrow f(x)=g(x)+C [/math]
x=0을 대입하면
[math] f(0)=g(0)+C [/math]
여기서 C는 자유도 역할을 하며 어떤 값이어도 상관 없다. 이 C의 자유도 때문에 특정 함숫값 하나를 마음대로 잡을 수 있고, [math] f(0)=k [/math]를 만족시키는 함수 f를 언제나 찾을 수 있다.

마찬가지로 두 벡터함수의 회전 연산 결과가 동일하다면 두 벡터함수의 차이는 비회전장으로, 특정 스칼라함수의 기울기(gradiant)로 나타낼 수 있다.
[math] \vec{\nabla}\times \vec{A} = \vec{\nabla}\times \vec{A'} \Leftrightarrow \vec{A}(\vec{r}) = \vec{A'}(\vec{r})+\vec{\nabla}\lambda(\vec{r}) [/math]
발산 연산을 취하면, 자유도 역할을 하는 [math] \nabla^2 \lambda [/math]가 튀어나온다.
[math] \vec{\nabla}\cdot \vec{A} = \vec{\nabla}\cdot \vec{A'} + \nabla^2 \lambda [/math]
자유도 역할을 하는 것은 [math] \nabla^2 \lambda [/math]가 어떤 함수를 가지든 간에 [math]\lambda(\vec{r})[/math] 함수를 찾을 수 있기 때문이다.
따라서 이 자유도의 영향으로 발산을 임의로 잡을 수 있으며, 그렇게 잡은 발산을 0으로 두는 것이다.

이는 게이지 장과 관련이 있다. 위에서 설정한 [math]\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0[/math]은 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)이다.
쿨롱 게이지에 의하면 자기장에 관한 방정식은 아래와 같이 바뀐다.
[math] \nabla^2\vec{A} = -\mu_0\vec{J} [/math]
이 푸아송 방정식의 해는 아래와 같이 전기 스칼라 퍼텐셜 공식과 같은 형태로 나온다.
[math] \displaystyle \vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \frac{\vec{J}(\vec{r'})}{\Re} d^3v' [/math]
여기서 비오-사바르의 법칙과 비교해보면, 자기장의 원천(source)인 전류 지점에서 관측 지점까지의 변위의 방향을 나타내는 단위벡터[math]\hat{\Re}[/math]가 들어가 있지 않아서, 적분을 계산하기 상대적으로 쉬움을 알 수 있다. 또한 전류의 방향이 곧 벡터 퍼텐셜의 방향을 직접 결정하는 꼴이 나온다.
[math] \displaystyle \vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \frac{\vec{J}(\vec{r'})\times \hat{\Re}}{\Re^2} d^3v' [/math]

4 자기선속과의 관계

자기장이 걸려 있는 공간 상에 임의의 닫힌 고리 모양의 경로를 설정하면 고리 안으로 자기선속이 생겨난다. 이를 벡터 퍼텐셜로서 나타낼 수 있다.
고리가 형성한 곡면 위에서 적분 식을 세우면
[math] \displaystyle \iint \hat{n}\cdot \vec{B} d^2a= \iint \hat{n}\cdot \vec{\nabla}\times \vec{A} d^2a [/math]
[math]\hat{n}[/math] 은 곡면 상의 적분에서 곡면의 작은 요소가 향하는 방향이다. 좌변은 자기선속이 나온다. 우변은 스토크스 정리에 따라 닫힌 고리 적분으로 바뀐다.
[math] \displaystyle \Phi_{B} = \oint \vec{A} \cdot d\vec{\ell} [/math]
나아가 이 관계식을 시간 미분하면 패러데이 법칙이 도출된다.

5 맥스웰 방정식의 변형

맥스웰 방정식 중 미분꼴 형태를 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜로서 나타낼 수 있다.
[math] \displaystyle \vec{\nabla}\cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}, \vec{\nabla}\cdot \vec{B}=\vec{0} [/math]
[math] \displaystyle \vec{\nabla}\times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0, \vec{\nabla}\times \vec{B} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial E}{\partial t} =\mu_0\vec{J} [/math]

위 식에서 자기장의 발산에 관한 관계식으로부터 벡터 퍼텐셜 [math]\vec{A}[/math]의 회전으로 나타난다. 이를 패러데이 법칙에 대입하면 아래와 같이 나타난다.
[math] \displaystyle \vec{\nabla}\times \vec{E} + \frac{\partial \vec{\nabla}\times \vec{A}}{\partial t} = 0[/math], 다시 쓰면
[math] \displaystyle \vec{\nabla}\times \left( \vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \right) = 0[/math]

따라서 괄호 안의 항은 비회전장이 된다. 벡터 퍼텐셜 항이 없으면 정전기학의 관계식이 나온다.
[math] \displaystyle \vec{E} = -\vec{\nabla} V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}, \vec{B} = \vec{\nabla}\times\vec{A} [/math]
전기역학에서 전기장과 자기장을 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜로 표현이 가능함을 알 수 있다.

이를 가우스 법칙과 앙페르-맥스웰 법칙에 대입하면 아래 십이 나온다.
[math] \displaystyle -\nabla^2 V- \frac{\partial(\vec{\nabla}\cdot \vec{A})}{\partial t} = \frac{\rho}{\epsilon_0}[/math]
[math] \displaystyle -\left(\nabla^2 \vec{A}-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} \right) + \vec{\nabla} \left(\vec{\nabla}\cdot \vec{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial V}{\partial t} \right) = \mu_0 \vec{J}[/math]
매우 복잡한 모양이지만 게이지 장에 따른 자유도에 근거하여 간단한 모양으로 바꿀 수 있다. 벡터 퍼텐셜의 발산을 임의로 설정할 수 있기 때문에 [math]\displaystyle \left(\vec{\nabla}\cdot \vec{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial V}{\partial t} \right) [/math] 부분을 0으로 잡을 수 있다. 이렇게 잡는 것을 로런츠 게이지(Lorentz gauge)라 한다.

이렇게 잡으면 방정식의 모양이 가지런(?)해진다. 이는 상대론적 전자기학에서도 적용할 수 있으며, 로런츠 불변량과 관련이 지어지면서 물리적 의미를 가지게 된다.
[math] \displaystyle \left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) V = -\frac{\rho}{\epsilon_0} [/math]
[math] \displaystyle \left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec{A} = -\mu_0 \vec{J} [/math]

6 게이지 불변성 덧붙이기

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여기에서는 스칼라 퍼텐셜이[math]V[/math]대신 [math]\phi[/math]로 적혀 있음을 미리 밝혀둔다.

6.1 왜 게이지인가

만약 이 글을 읽은 독자가 전자기장의 게이지 변환을 처음 접한다면 왜 이 변환의 이름이 게이지 변환인지 아리송할 것이다. 게이지? 전자기장의 경우를 미리 살펴 보자. 스칼라 퍼텐셜 [math]\phi[/math]와 벡터 퍼텐셜 [math]\vec{A}[/math]가 있을 때 다음 변환

[math]\phi \to \phi - \frac{\partial \Lambda}{\partial t}[/math], [math]\vec{A} \to \vec{A} + \vec{\nabla} \Lambda[/math]
(단, [math]\Lambda[/math]는 모든 점에서 2계 도함수가 연속인 함수이다)

은 [math]\Lambda[/math]가 무엇이든 간에 물리가 안 변한다는 것을 배웠을 것이다. 이 변환을 가리켜 게이지 변환'이라고 부르고, 전자기장의 경우 이 변환에도 물리가 안 바뀌는 것을 보고 게이지 불변성 혹은 게이지 대칭성이 있다고 말한다. 그런데 이걸 처음 본 사람들은 이게 뭐 어쨌다는 걸까 싶을 것이다. 일단 이름부터 이해가 안 가니...

하지만 이 게이지 변환의 의미는 보기보다 심오하다. 하나하나 살펴보자.

사전에서 게이지(gauge)를 찾아보면 '계측기' 정도로 번역되는 단어라는 것을 알 수 있다. 저 변환이 계측기랑 무슨 관련이 있나 싶을 것이다. 이걸 이해하려면 단순한 상황에서 게이지 변환을 볼 필요가 있다.

자기장이 없고 전기장만 있는 경우를 생각해 보자. 이때 스칼라 퍼텐셜을 (그리고 회로 이론에서) 우리는 흔히 전위라고 표현한다. [math]V[/math]라고 많이들 표기하는 그것이다. 그리고 두 지점 간의 전위 차이를 가리켜 전위차라고 쓴다. 그런데 회로를 다뤄 본 사람들이라면 알겠지만 (고등학교 물리 시간에 졸지만 않았으면 알 수 있는 내용이다) 실제로 회로를 다룰 때 중요한 것은 전위가 아닌 전위차이다. 예컨대 가장 중요한 옴의 법칙 같은 경우, 전류는 어떤 전위에 비례하는 것이 아니라 저항 양단의 전위 차이에 비례한다는 것을 알 것이다.

좀 더 들어가 보자. 전압을 잴 때 우리는 전압계를 이용한다. 전압계를 쓸 때엔 전압계의 단자 중 한 쪽은 그라운드에 꽂고 다른 한 쪽은 전위를 알고 싶은 지점에 꽂았었다. 여기서 주목할 점이 두 가지가 있다. 첫째, 그라운드가 어딘지는 별로 중요하지 않다는 것이다. 한 번 정했을 때 바꾸지만 않는다면 맨 처음에 그라운드를 어디에 잡든 회로의 결과가 바뀌는 것은 전혀 없다. 단지 기록되는 전위만 바뀔 뿐. 그리고 맨 처음에 전압계의 눈금을 조금 돌려 놔도 사실 별 상관이 없다는 것이다. 돌려 놓고 또 돌리지만 않는다면 별 상관이 없다. 사실 이건 그라운드의 전위를 0이 아닌 다른 값(눈금 돌린 값)으로 잡는 것과 물리적으로 다른 것이 없다. 위에서 설명했듯이 실제로 물리적인 의미가 있는 것은 전위 간의 차이지 전위가 구체적으로 얼마냐가 아니기 때문이다.

이걸 가지고 좀 더 일반적인 경우를 살펴 보자. 전기장을 배웠다면 전기 퍼텐셜을 구할 때 기준점을 잡았다는 것을 배웠을 것이다. 예를 들어 점전하의 전기 퍼텐셜은 [math]V = k \frac{q}{r}[/math]로 흔히들 구했을텐데, 이때 무한히 먼 곳에서 전기 퍼텐셜이 0이도록 잡고 구한 것이 저 결과라는 것을 기억할 것이다. 그런데 사실 무한히 먼 곳에서 전기 퍼텐셜이 다른 값을 가지도록 해도 사실 변하는 건 없다. 실제로 그런 상수 차이는 전기장을 계산할 때 없어져 버리기 때문이다. 이 역시 마치 전기 퍼텐셜을 재는 계측기(전압계)의 눈금을 돌려 놓은 것과 그걸로 물리가 바뀌지 않는다는 것으로 연결된다.

계측기(게이지)의 눈금을 돌려도 결과가 바뀌지 않는다는 사실은 측정하는 대상(전기 퍼텐셜)이 비록 유일하게 결정되지는 않지만 가능한 것들끼리 어떤 특정한 변환(눈금 돌리기 --- 상수 더하기)이 존재하고 그 변환을 하여도 물리가 변하지 않는다는 것으로 흘러간다. 이 때문에 우리는 이러한 변환(눈금 돌리기 혹은 상수 더하기)을 가리켜 게이지 변환이라고 부르고 이러한 게이지 변환에도 물리가 변하지 않는 것을 보고 게이지 불변성이 있다고 말한다.

다른 경우에서의 대칭성과 마찬가지로 게이지 불변성 역시 물리 문제를 풀 때 적잖은 도움을 준다. 복잡한 3차원 역학 문제를 풀 때도 대칭성이 있으면 1차원 문제로도 줄일 수 있었던 것처럼 게이지 불변성 역시 편리함을 준다. 당장 점전하의 전기 퍼텐셜에 군더더기 상수가 안 붙어 있는 것만 봐도 그렇다. 회로를 다룰 때에도 그라운드를 어디에다 잡느냐가 식을 더 복잡하게 만들 수도 있고 더 간단하게 만들 수도 있는 것이다.

한 가지 더 짚고 가자. 정말 상수 더하기만 게이지 변환에 해달될까? 그 답은 전기장과 퍼텐셜의 관계에서 찾을 수 있다. 사실 물리적인 결과가 바뀌지 않으려면 퍼텐셜이 바뀌어도 전기장만 안 바뀌는 것으로 충분하기 때문이다. 퍼텐셜이 [math]\phi[/math]로 주어졌을 때 전기장은 다음과 같다.

[math]\vec{E} = -\vec{\nabla} \phi[/math].

게이지 변환이 된 새로운 퍼텐셜을 [math]\phi'[/math]라 하자. 게이지 불변이 되려면 이 퍼텐셜에 의한 전기장이 전의 것과 같아야 한다. 즉,

[math]-\vec{\nabla} \phi = -\vec{\nabla} \phi'[/math] .

따라서 [math]\vec{\nabla} (\phi' - \phi) = 0[/math]이어야 하고, 이는 곧 [math]f = \phi' - \phi[/math]가 위치에 대한 상수임을 말해 준다. 잠깐... 근데 만약 [math]f[/math]가 시간 만에 대한 함수라면? 이런 것도 사실 충분히 가능하다. 심지어 지금 정적(static)인 상태를 다루는 것이라 해도 말이다. 그런데 가만 생각해 보면 [math]f[/math]가 시간에 대해 달라도 별 상관이 없다는 것을 말해 준다. 필요한 전위들을 동시에 측정한다면 사실 상 [math]f[/math]는 상수일테니 말이다. 그리고 사실 동시에 측정된 것들이 실질적인 의미를 가진다는 걸 생각하면 [math]f[/math]가 시간에 따라 변해도 게이지 변환이 맞다는 것을 짐작할 수 있다.

6.2 전자기장의 게이지 변환

이제 자기장이 있는 경우를 보자. 잘 알려져 있듯이 전기장과 자기장은 서로 얽혀 있다. 따라서 게이지 변환 역시 자기장과 얽혀서 뭔가 달라진다. 퍼텐셜 성분이 3개나 늘어나서 그런지 게이지 변환은 전기장에 단순히 상수를 더하는 것보다 더 복잡해지게 된다. 저 위에 써 둔 변환식이 바로 일반적인 전자기 퍼텐셜의 게이지 변환이다. 이 게이지 변환을 보면 앞에서 서술한 눈금 어쩌고를 굳이 넣을 만한 건덕지가 없어 보인다. 하지만 어쨌든 이 변환은 앞서 주욱 설명한 전기 퍼텐셜의 게이지 변환(눈금 돌리기)의 일반화인 것이 분명하다. 더하되, 상수가 아닌 더 복잡한 함수를 더하는 것이고, 그럼에도 물리가 변하지 않는다는 것이다. 이것을 보면 일반화라고 할 만하다.

이번에도 위의 게이지 변환 만이 유일한 건가를 짚어 보자. 이 작업은 맥스웰 방정식들 중에서 다음 두 가지로부터 이루어진다.

[math]\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0[/math],
[math]\vec{\nabla} \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0[/math].

첫째 방정식은 [math]\vec{B}[/math]가 어떤 벡터장 [math]\vec{A}[/math]의 curl, 즉 [math]\vec{\nabla} \times \vec{A}[/math]이어야 한다는 것을 말해 주며, 이걸 둘째 방정식에 대입하면 [math]E + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}[/math]가 어떤 스칼라장 [math]-\phi[/math]의 그래디언트, 즉 [math]-\vec{\nabla} \phi[/math]임을 알 수 있다. 즉, 다음을 얻는다.

[math]\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}[/math],
[math]\vec{E} = -\vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}[/math] .

이렇게 전기장과 자기장이 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜로 표핸이 된다. 이제 이로부터 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜이 어떻게 바뀌면 전기장과 자기장이 바뀌지 않을 것인지를 살펴 보자.

먼저 자기장을 살펴 보자. 다행히 여기서는 벡터 퍼텐셜만 고려해 주면 된다. 새로운 벡터 퍼텐셜을 [math]\vec{A}'[/math]라 하면 [math]\vec{\nabla} \times \vec{A} = \vec{\nabla} \times \vec{A}'[/math] 혹은

[math]\vec{\nabla} \times (\vec{A}' - \vec{A}) = 0[/math]

이어야 한다. 이것을 만족하려면 [math]\vec{A}' - \vec{A}[/math]가 어떤 스칼라 함수의 그래디언트이어야 한다. 즉, [math]\vec{A}' - \vec{A} = \vec{\nabla} \Lambda_0[/math]이어야 한다. 다시 말해,

[math]\vec{A}' = \vec{A} + \vec{\nabla} \Lambda_0[/math].

이것은 위에서 소개한 게이지 변환 중 벡터 퍼텐셜의 변환과 일치한다. 이제 이걸 가지고 스칼라 퍼텐셜의 변환을 구해 보자. 게이지 변환이 된 스칼라 퍼텐셜을 [math]\phi'[/math]라 하자. 전기장의 식으로부터 다음이 만족되어야 한다는 것을 알 수 있다.

[math]-\vec{\nabla} \phi' - \frac{\partial \vec{A}'}{\partial t} = -\vec{\nabla} \phi' - \frac{\partial}{\partial t} (\vec{A} + \vec{\nabla} \Lambda_0) = -\vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}[/math] .

이걸 정리하면 다음을 얻는다.

[math]-\vec{\nabla} \left( \phi' - \phi + \frac{\partial \Lambda_0}{\partial t} \right) = 0[/math].

따라서 다음을 얻는다.

[math]\phi' = \phi - \frac{\partial \Lambda_0}{\partial t} - \Lambda_1(t)[/math].

이때 [math]\Lambda_1[/math]는 시간 만의 함수이다. 그런데 [math]\Lambda_1(t) = \frac{d \lambda_1(t)}{dt}[/math]로 정의하면 [math]\phi' = \phi - \frac{\partial (\Lambda_0 + \lambda_1)}{\partial t}[/math]이고, 사실 [math]\vec{\nabla} (\Lambda_0 + \lambda_1) = \vec{\nabla} \Lambda_0[/math]이기에 위 식들에서 [math]\Lambda_0[/math] 대신 [math]\Lambda = \Lambda_0 + \lambda_1[/math]을 넣어도 바뀌는 것은 없다. 따라서 가능한 게이지 변환은 다음 뿐이다.

[math]\vec{A}' = \vec{A} + \vec{\nabla} \Lambda[/math],
[math]\phi' = \phi - \frac{\partial \Lambda}{\partial t}[/math].

정확하게 맨 위에서 제시한 게이지 변환과 일치한다.