무게중심

1 무게중심과 질량중심

물체가 지닌 무게의 중심점. 중력이 모든 지점에서 균일한 상황에서는 질량 중심과 혼용되어 사용해도 상관없지만, 중력가속도가 다른 상황에서는 무게=질량 등식이 성립하지 않으므로, 구분하여 사용해야 한다.

2 무게중심과 균형점

일상생활에 접목하여 설명해보면, 무게중심은 곧 물체의 균형점이라 할 수 있다. 좀 더 풀어서 설명하면 해당지점에 실을 매달거나, 뾰족한 받침대 위에 조심스럽게 올렸을 때 물체가 균형을 유지해서 어느 한쪽으로도 기울지 않는 지점이다. 때문에 원, 구, 정다면체 등 대칭형 물체의 무게중심은 (그 물체의 밀도가 일정하다고 가정할 때) 기하학적 중심과 일치한다.
알기 쉬운 예시로 책돌리기, 동전쌓기, 돌탑쌓기, 카드탑, 차크라 공중회전 등을 생각하면 된다. 몇몇 예시들은 평평한 면을 이용해서 균형을 잡는 것들이지만, 그런 경우에도 어느정도 무게 중심에 가깝게 놓아야 쓰러뜨리지 않고 쌓을 수 있다.

가장 간단한 형태인 시소의 경우, 양측에 아무것도 올려져 있지 않으면 정 가운데에 그 균형점이 있겠지만, 양측에 서로 다른 무게의 물체가 올려져있다면, 균형점은 양측 물체 질량비와 서로 반비례하는 지점에, 즉 무거운 쪽에 가까운 곳에 위치한다.

2.1 다각형의 무게중심

2.1.1 삼각형의 무게중심

교과과정에서 가장 흔히 접하는 무게중심은 삼각형의 무게중심 구하기이다.
수학적인 정의는 삼각형의 세 중선이 만나는 점이다. 이를 이용하면 평면좌표 상의 세 점 [math]A\left(x_1,y_1\right), B\left(x_2,y_2\right), C\left(x_3,y_3\right)[/math]이 꼭짓점인 삼각형의 무게중심 [math]G[/math]의 좌표는 [math]\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)[/math]임을 유도할 수 있다.
삼각형의 각 변을 일정한 비율로 내분한 점들을 이어 만든 삼각형의 무게중심은 원래 처음의 삼각형의 무게중심과 일치하는데, 이런 문제들이 가끔씩 고등학교 수학 I에서 튀어나오곤 한다. 굳이 점의 좌표를 일일이 구하지 말고 편하게 문제를 풀도록 하자.
참고로 정삼각형은 방심을 제외한 삼각형의 사심(외심, 내심, 무게중심, 수심)이 모두 같다.

2.1.2 사각형의 무게중심

사각형의 경우 정사각형, 평행사변형, 마름모 같은 경우는 직관적으로 대각선의 교점이 곧 무게중심임을 알 수 있지만, 그외의 경우는 우선 대각선을 하나 그어서 사각형을 두개의 삼각형으로 나눈 뒤에, 각 삼각형의 무게중심을 그어서 서로 이어준다. 그리고 두 삼각형의 무게중심을 이은 선분을 두 삼각형의 넓이 비에따라 다시 나눠서 구할 수 있다. 아니면 반대 방향으로 다시 대각선을 그어서 다시 두 삼각형의 무게 중심을 구해서 이은 뒤에, 처음 대각선에서 나온 선분과 두번째 대각선에서 나온 선분의 교점을 구하는 방식으로도 구할 수 있다.

2.1.3 [math]n[/math]각형([math]n \ge 5[/math])의 무게중심

• 오각형의 경우 대각선 두개를 그어 3개의 삼각형으로 나눈 뒤에, 각 삼각형의 무게중심을 구한다. 그렇게 구한 3개의 무게 중심을 꼭지점 삼아 이은 새로운 삼각형의 무게중심을 구하면 그게 오각형의 무게중심이 된다.
• 육각형의 경우 대각선 세개를 그어 4개의 삼각형으로 나눈 뒤, 각 삼각형의 무게중심을 구한다. 그렇게 구한 4개의 무게 중심을 꼭지점 삼아 이은 새로운 사각형의 무게중심을 구하면 그게 육각형의 무게 중심이 된다.
• 칠각형 이후도 위와 같은 방법으로 다각형을 삼각형으로 나누어서 얻은 무게 중심의 교점을 이용하여 다각형의 무게중심을 구할 수 있다.

기하학에 관련된 정리는 이쪽으로 오심과 관련된 정리

3 무게중심과 안정성

물체는 무게 중심이 낮을수록 안정적이고, 무게 중심이 높을수록 불안정해진다. 간단한 예로 손바닥 밀치기 게임을 해보면, 자세가 낮을 수록 잘 안 넘어 진다는 것을 알 수 있다. 균형감각을 요구하는 서핑보드나 스케이트보드 역시 비슷한 자세를 취하고, 씨름이나 레슬링, 유도 등 상대를 넘어뜨려야 이기는 스포츠의 경우는 넘어지지 않기 위해 엉덩이를 뒤로 빼는 자세를 취하는 것을 볼 수 있다.

무게 중심은 물체를 놓는 모양에 따라서도 달라진다. 도미노를 세로로 세우면, 쉽게 쓰러지지만 가로로 세우면 무게 중심을 낮춰 잘 안 쓰러지게 할 수 있다. 다른 물체 역시 세우는 방향에 따라 무게중심을 달리하여 불안하게 놓거나, 아니면 안정적으로 둘 수 있다.

무게중심은 바닥에 수직방향으로 작용하는 중력의 영향을 받으므로, 무게 중심과 수직선상에 가까울수록 안정적이다. 등산을 가거나, 약수터, 절 등에 가보면 돌들을 쌓은 돌탑을 볼 수 있다. 가장 밑에 놓인 바위는 무관하니까 제외하고, 제일 위에 놓인 돌부터 그 아래 있는 돌들의 무게중심이 하나의 수직선에 가까워야 흔들리지 않고 안정적인 돌탑을 쌓을 수 있다. 이는 동전쌓기나 의자쌓기, 기타 물건 쌓기의 경우도 마찬가지이다.

단, 위에 예시는 정적인 상태이며, 동적인 상태에서는 반대가 된다. 무게중심을 이야기할때는 기하중심과 같이 설명하는 것이 좋으며, 정적인 상태에서는 무게중심이 기하중심보다 낮을 수록 안정하고, 동적인 상태에서는 무게중심이 기하중심보다 높을 수록 안정하다. (제어성(제어 편의성)과도 연관이 있다.)

망치나 장도리로 예를 들면, 바닥면에 망치를 세울 경우 쇳덩이 부분이 낮은 곳에 있을 경우 안정적이지만, 손바닥 위에서 균형을 잡을 경우에는 손바닥 위에 쇳덩이 부분보다 자루부분이 놓일 경우, 안정적으로 세울 수 있다. 비슷한 예로 자전거나 오토바이 같이 정적인 상태에서 불안정한 경우라도 움직이기 시작하면, 안정적으로 서서 움직이는 것과 같다. 자전거를 천천히 움직이는 것보다 빨리 움직이는게 잘 넘어지는 것과 같다. (자전거나 오토바이의 경우는 자이로스코프효과의 영향도 존재한다.)