Klein-Gordon Equation
인류를 수호하는 공돌신과는 관계 없...나?
클라인-고든 방정식은 슈뢰딩거 방정식의 상대론적 일반화 과정에서 얻어지는 방정식이다.
1 역사
밑의 계산 과정을 보면 알겠지만, 클라인-고든 방정식은 뭔가 굉장한 사고의 전환이 필요한 것도 아니고, 가정이 몇 개 추가되어야 비로소 얻어지는 결과도 아니고, 그냥 특수 상대론에서의 에너지 식과 물리량-연산자 치환만 알고 둘을 잘 끼워 맞추면 어렵지 않게 튀어나오는 식이다. 그렇다면 슈뢰딩거는 특수 상대론에서의 에너지 식을 몰라서 이 방정식을 자신의 이름으로 발표하지 못하고 고전적 에너지 보존 법칙에 바탕한 슈뢰딩거 방정식을 발표한 것일까?그럴 리가 없지
클라인과 고든이 클라인-고든 방정식을 발표한 것은 1926년인데, 사실 슈뢰딩거는 1925년 말에 이미 이 식을 알고 있었다(...) 슈뢰딩거는 이 방정식을 이용하여 수소 원자에 대해 설명하려고 시도하였다. 그러나 클라인-고든 방정식은 전자의 스핀을 고려하지 않은 방정식이기 때문에 이러한 설명은 실패한다.[1] 하지만 슈뢰딩거는 이 방정식의 비상대론적 극한이 매우 쓸모있음을 깨닫고, 1926년 1월에 그 방정식, 슈뢰딩거 방정식을 발표한다.
슈뢰딩거 방정식이 발표되고 난 뒤 많은 물리학자들은 슈뢰딩거 방정식을 얻은 방법을 이용해 클라인-고든 방정식을 얻을 수 있다는 것을 깨달았는데, 방정식에 자신의 이름을 갖다 붙인 클라인과 고든은 물론이고 물질파 이론의 드 브로이, 테오필 드 동데르, 프란스-H. 반 덴 던겐 등 많은 과학자들이 비슷한 주장을 하였다.주워먹기 소련의 물리학자 블라디미르 포크는 자기장이 있는 경우로 일반화한 슈뢰딩거 방정식으로 클라인-고든 방정식을 얻었으나 유럽에는 알려지지 않았다.란다우는 자기 이름 많이 남겼는데 따라서 우리는 인생은 타이밍임을 잘 알 수 있다.
2 개요 : 슈뢰딩거 방정식
슈뢰딩거 방정식은 고전 물리학에서 다음과 같은 에너지 법칙과 대응된다.
[math] E = T + V [/math]
이 식에서 [math]E[/math]는 총 에너지, [math] \displaystyle T = \frac{p^2}{2m} [/math]는 운동 에너지, [math] V[/math]는 위치 에너지를 의미한다. 이 에너지 법칙의 각 물리량을 양자 역학에서의 대응하는 연산자
[math] \displaystyle E \rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t} [/math]
[math] \displaystyle p \rightarrow -i\hbar \nabla[/math]
[math] \displaystyle V(x) \rightarrow V(x) [/math]
로 치환하면 시간의존적 슈뢰딩거 방정식
[math] \displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t)= \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(x,t) \right) \Psi(x,t)[/math]
을 얻을 수 있다. 위치 에너지가 존재하지 않는 자유 입자의 경우 [math]V(x) = 0[/math]이므로 다음과 같이 표현된다.
[math] \displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t)= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(x,t)[/math]
3 유도
위에서 사용한 에너지 방정식은 고전적 에너지 법칙이다. 그렇다면 이것을 상대론적으로 바꾸어 본다면 어떨까? 특수 상대성 이론에서는 자유 입자의 에너지를 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math] E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} [/math]
슈뢰딩거 방정식을 유도하기 위해 사용했던 방법처럼 물리량을 연산자로 치환해 보면
[math] \displaystyle i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi = \sqrt{ (-i\hbar \nabla)^2 c^2 + m^2 c^4} \Psi [/math]
를 얻는다. 아무래도 오른쪽의 연산자는 제곱근이 들어가 있어 계산하기 힘들 것 같다. 게다가 이 방정식은 비국소적[2]이다. 그렇다면 특수 상대성 이론에서의 에너지 식의 양변을 제곱한 다음 연산자로 치환한다면 어떨까?
[math] \displaystyle E^2 ={p^2 c^2 + m^2 c^4} \rightarrow - \hbar^2 \frac{\partial^2 }{\partial t ^2} \Psi = ( -\hbar^2 \nabla^2 c^2 + m^2 c^4) \Psi[/math]
좀더 알기쉽게 정리하면
[math]\displaystyle \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \Psi - \nabla^2 \Psi + \frac{m^2 c^2}{\hbar ^2} \Psi = 0[/math]
달랑베르 연산자와 [math]c=\hbar=1[/math]이라는 규격을 사용하여 더욱 간단한 형태로 적을수도 있다.
[math](\square ^2 + m^2) \Psi = 0 [/math]
이것이 클라인-고든 방정식이다.
4 해
클라인-고든 방정식의 파동함수 [math]\Psi(\vec{r}, t)[/math]를 가장 표준적인끝없이 우려먹는 평면파 형태로 다음과 같이 두자.
[math]\Psi(r, t) = e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}[/math]
[math]c=\hbar=1[/math] 규격을 사용한 클라인-고든 방정식에 대입하면 다음을 얻는다.
[math] -\omega^2 + |k| ^2 + m^2 = 0 [/math]
평면파 파동함수의 운동량 기대값과 에너지 기대값은 각각 [math]\hbar k[/math]와 [math]\hbar \omega[/math]이므로 (그리고 [math]\hbar = 1[/math] 규격을 이용하고 있으므로) 다음이 성립한다.
[math] \langle E\rangle ^2 = \langle P\rangle ^2 + m^2 [/math]
이는 특수 상대론에서의 에너지 식과 일치한다! 아까 한 거 거꾸로 한 거잖아