클라인-고든 방정식

Klein-Gordon Equation
인류를 수호하는 공돌신과는 관계 없...나?
클라인-고든 방정식은 슈뢰딩거 방정식의 상대론적 일반화 과정에서 얻어지는 방정식이다.

1 역사

밑의 계산 과정을 보면 알겠지만, 클라인-고든 방정식은 뭔가 굉장한 사고의 전환이 필요한 것도 아니고, 가정이 몇 개 추가되어야 비로소 얻어지는 결과도 아니고, 그냥 특수 상대론에서의 에너지 식과 물리량-연산자 치환만 알고 둘을 잘 끼워 맞추면 어렵지 않게 튀어나오는 식이다. 그렇다면 슈뢰딩거는 특수 상대론에서의 에너지 식을 몰라서 이 방정식을 자신의 이름으로 발표하지 못하고 고전적 에너지 보존 법칙에 바탕한 슈뢰딩거 방정식을 발표한 것일까?그럴 리가 없지

클라인과 고든이 클라인-고든 방정식을 발표한 것은 1926년인데, 사실 슈뢰딩거는 1925년 말에 이미 이 식을 알고 있었다(...) 슈뢰딩거는 이 방정식을 이용하여 수소 원자에 대해 설명하려고 시도하였다. 그러나 클라인-고든 방정식은 전자의 스핀을 고려하지 않은 방정식이기 때문에 이러한 설명은 실패한다.[1] 하지만 슈뢰딩거는 이 방정식의 비상대론적 극한이 매우 쓸모있음을 깨닫고, 1926년 1월에 그 방정식, 슈뢰딩거 방정식을 발표한다.

슈뢰딩거 방정식이 발표되고 난 뒤 많은 물리학자들은 슈뢰딩거 방정식을 얻은 방법을 이용해 클라인-고든 방정식을 얻을 수 있다는 것을 깨달았는데, 방정식에 자신의 이름을 갖다 붙인 클라인과 고든은 물론이고 물질파 이론의 드 브로이, 테오필 드 동데르, 프란스-H. 반 덴 던겐 등 많은 과학자들이 비슷한 주장을 하였다.주워먹기 소련의 물리학자 블라디미르 포크는 자기장이 있는 경우로 일반화한 슈뢰딩거 방정식으로 클라인-고든 방정식을 얻었으나 유럽에는 알려지지 않았다.란다우는 자기 이름 많이 남겼는데 따라서 우리는 인생은 타이밍임을 잘 알 수 있다.

2 개요 : 슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거 방정식은 고전 물리학에서 다음과 같은 에너지 법칙과 대응된다.

[math] E = T + V [/math]

이 식에서 [math]E[/math]는 총 에너지, [math] \displaystyle T = \frac{p^2}{2m} [/math]는 운동 에너지, [math] V[/math]는 위치 에너지를 의미한다. 이 에너지 법칙의 각 물리량을 양자 역학에서의 대응하는 연산자

[math] \displaystyle E \rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t} [/math]

[math] \displaystyle p \rightarrow -i\hbar \nabla[/math]

[math] \displaystyle V(x) \rightarrow V(x) [/math]

로 치환하면 시간의존적 슈뢰딩거 방정식

[math] \displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t)= \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(x,t) \right) \Psi(x,t)[/math]

을 얻을 수 있다. 위치 에너지가 존재하지 않는 자유 입자의 경우 [math]V(x) = 0[/math]이므로 다음과 같이 표현된다.

[math] \displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t)= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(x,t)[/math]

3 유도

위에서 사용한 에너지 방정식은 고전적 에너지 법칙이다. 그렇다면 이것을 상대론적으로 바꾸어 본다면 어떨까? 특수 상대성 이론에서는 자유 입자의 에너지를 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math] E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} [/math]

슈뢰딩거 방정식을 유도하기 위해 사용했던 방법처럼 물리량을 연산자로 치환해 보면

[math] \displaystyle i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \Psi = \sqrt{ (-i\hbar \nabla)^2 c^2 + m^2 c^4} \Psi [/math]

를 얻는다. 아무래도 오른쪽의 연산자는 제곱근이 들어가 있어 계산하기 힘들 것 같다. 게다가 이 방정식은 비국소적[2]이다. 그렇다면 특수 상대성 이론에서의 에너지 식의 양변을 제곱한 다음 연산자로 치환한다면 어떨까?

[math] \displaystyle E^2 ={p^2 c^2 + m^2 c^4} \rightarrow - \hbar^2 \frac{\partial^2 }{\partial t ^2} \Psi = ( -\hbar^2 \nabla^2 c^2 + m^2 c^4) \Psi[/math]

좀더 알기쉽게 정리하면

[math]\displaystyle \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \Psi - \nabla^2 \Psi + \frac{m^2 c^2}{\hbar ^2} \Psi = 0[/math]

달랑베르 연산자[math]c=\hbar=1[/math]이라는 규격을 사용하여 더욱 간단한 형태로 적을수도 있다.

[math](\square ^2 + m^2) \Psi = 0 [/math]

이것이 클라인-고든 방정식이다.

4

클라인-고든 방정식의 파동함수 [math]\Psi(\vec{r}, t)[/math]를 가장 표준적인끝없이 우려먹는 평면파 형태로 다음과 같이 두자.

[math]\Psi(r, t) = e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}[/math]

[math]c=\hbar=1[/math] 규격을 사용한 클라인-고든 방정식에 대입하면 다음을 얻는다.

[math] -\omega^2 + |k| ^2 + m^2 = 0 [/math]

평면파 파동함수의 운동량 기대값과 에너지 기대값은 각각 [math]\hbar k[/math][math]\hbar \omega[/math]이므로 (그리고 [math]\hbar = 1[/math] 규격을 이용하고 있으므로) 다음이 성립한다.

[math] \langle E\rangle ^2 = \langle P\rangle ^2 + m^2 [/math]

이는 특수 상대론에서의 에너지 식과 일치한다! 아까 한 거 거꾸로 한 거잖아

5 특징과 한계

클라인-고든 방정식은 특수 상대성 이론에 양자 역학적 도구를 끼워 맞춘 형태이다. 따라서 특수 상대성 이론을 만족시키는 모든 입자의 파동방정식은 클라인-고든 방정식을 만족시킨다. 하지만 입자의 스핀에 대해 고려하지 않았기 때문에 역은 성립하지 않는다. 따라서 0이 아닌 스핀을 가진 입자들의 운동을 설명하기 위해 디랙 방정식 등의 방정식이 생겨나게 된다. 이런 방정식들의 해는 클라인-고든 방정식의 해이지만, 역은 성립하지 않는다.
  1. 전자의 스핀을 고려하면 디랙 방정식이 나타난다.
  2. 국소적인 미분방정식은 임의의 아주 작은 점 근처에서의 정보가 주어진다면 함수의 모든 정보를 알 수 있다. 반대로, 비국소적인 미분방정식은 한 점에서 그 미분방정식이 옳은지 확인하고 싶다면 그 점으로부터 멀리 떨어진 점의 정보가 필요하다.