슈뢰딩거 방정식

• 상위 항목 : 에르빈 슈뢰딩거, 양자역학

Schrödinger equation.

1 개요

양자역학적 관점에서 물질의 상태를 기술하는 방정식으로, 1926년에 에르빈 슈뢰딩거가 발표하였다.
양자역학에서 슈뢰딩거 방정식은 고전역학에서 뉴턴 방정식 F=ma, 혹은 라그랑주 방정식과 동일한 위상을 지니며, 이들과 마찬가지로 fundamental relation이므로 다른 물리법칙으로부터 '유도'될 수 없다.

고전적인 운동 방정식과 슈뢰딩거 방정식은 기초적인 방정식이라는 공통점 외에 많은 차이가 있는데 그 중 특히 유념해야 할 큰 차이로 두 방정식이 다루는 대상이 있다. 고전적인 운동 방정식에서는 입자 혹은 질점의 위치나 운동량 같이 의미가 직관적으로 잘 와닿는 것을 대상으로 하는데 반해 슈뢰딩거 방정식은 다소 추상적인 파동함수라는 것을 다룬다. 그리고 이 파동함수는 추상적인 만큼 그 의미에 해석이 필요하다. 예를 들자면 파동함수가 물리적인 실체인가 아닌가 하는 부분이나 측정이 도대체 어떤 식으로 양자상태를 붕괴시키는지는 양자 역학의 해석에 따라 설명이 갈린다. 그러나 이러한 해석 방법에 관계 없이 파동함수로부터 어떤 측정 결과의 확률분포를 알 수 있다는 것만은 기본적인 가정(혹은 해석에 따라 가정으로부터 다다를 수 있는 현상)이다. 이는 실험적으로도 잘 증명되어 있다. 따라서 파동함수가 물리적 실체인지 아닌지는 불확실하더라도 양자역학을 세우는 데 필수적임은 확실하다.

2 아이디어

비록 슈뢰딩거 방정식이 양자역학에서 일종의 '공리(Postulate)'와 같은 존재라지만, 그렇다고 기존의 물리학적 흐름과 완전히 동떨어져서 등장한 것은 아니다. 슈뢰딩거 방정식을 착안해 내는 아이디어는 여러 가지가 있지만, 가장 직접적으로는 제임스 클러크 맥스웰이 정립한 고전전자기학 혹은 파동역학에서 출발하며, 여기에 막스 플랑크가 제시한 "양자가설", 즉 에너지의 양자화 [math] E=h \nu [/math]를 적용해서 역으로 미분하면 시간의존 슈뢰딩거 방정식에 도달할 수 있다(이는 슈뢰딩거 본인이 사용한 방법이기도 하다.). 또한 슈뢰딩거 방정식을 구성하는 해밀토니언(Hamiltonian) 연산자 역시, 고전역학의 해밀턴 역학에서 사용하는 해밀토니언 [math]H[/math]로부터 자연스럽게 확장시켜 사고할 수 있다. 실제로 슈뢰딩거의 논문은 해밀턴 역학에서 나오는 해밀턴-자코비 방정식에서 출발한다. 또한, 파인만이 사용한 방법으로, 최소작용의 원칙과 경로적분, 그리고 몇 가지 가정을 이용하는 방법도 있다.
즉, 양자역학은 상대성 이론마냥 뜬금없이 천재 한 명이 만들어낸 분야라기보다는, 고전물리학 - 고전역학과 전자기학 - 의 최전선에 서 있던 과학자들이 양자역학적인 현상을 어떻게 기술해야 할지 고민하는 과정에서 자연스럽게 얻어진 결과물에 가깝다. 또한 이러한 아이디어의 과정을 역으로 추적해나가다 보면, 양자역학이 어떠한 조건에서 고전역학과 같아지는지, 즉 "고전적 한계(classical limit)"의 조건이 무엇인지도 쉽게 이해할 수 있다.

3 형태

3.1 시간 의존 슈뢰딩거 방정식(Time-dependent Schrödinger Equation)

• [math] i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left|\Psi(t)\right\gt= \hat{H} \left|\Psi(t)\right\gt[/math]

비상대론적 영역(nonrelativistic)에서는 가장 일반적인 형태다. 여기서 [math]H[/math]는 해밀토니언 작용자(Hamiltonian Operator)라고 하며, 이 연산자의 기대값은 에너지다. 해밀토니언의 구체적인 형태는 기술하고자 하는 시스템에 따라 달라진다. 또, [math]\left|\Psi(t)\right\gt[/math]는 양자상태(물리적 상태)를 나타내는 ket이다. 따라서 위 방정식은 양자상태가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 기술하는 편미분 방정식이다. 아래에서 소개하는 모든 식들은 모두 여기서 유도 가능하다.

아주 중요한 특별한 꼴로 포텐셜 하에 놓여있는 비상대론적 단일 입자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식은 position basis를 이용해 쓰면 다음과 같다.

• [math] i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t)= \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(x,t) \right) \Psi(x,t)[/math]

여기서, [math] \Psi(x,t) = \left\lt x| \Psi (t) \right\gt[/math] 이다. 태초에 발표된 슈뢰딩거 방정식의 형태이기도 하다. 자세히 보면 헤밀토니안의 고전적 정의(운동에너지+퍼텐셜)에서 운동에너지 [math] p^2 / 2m [/math]의 [math]p[/math]를 운동량 연산자(momentum operator) [math] -i \hbar \nabla [/math]로 바꿔 넣은 것을 알 수 있다.

학구열에 불타는 비전공자 여러분들을 위해... 혹시 저 역삼각형이 뭔지 궁금하다면, "델(연산자)"를 검색해 보자.그래디언트 혹은 라플라시안을 봐도 된다

3.2 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식(Time-independent Schrödinger Equation)

• [math] E \left|\psi\right\gt= \hat{H} \left|\psi\right\gt[/math]
• [math] E \psi(x)= \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(x) \right)\psi(x) [/math]

위의 식과 같지만, 하나 다른 점은 시간의존성이 사라진 대신 에너지가 그 자리에 들어갔다는 거다. 이 슈뢰딩거 방정식의 해를 정류상태 파동함수라고 부른다. 화학자들이 관심을 갖고 있는 많은 문제들이 단지 이 정류상태 파동함수를 이용하여 다루어진다. 당연히 해밀토니언 연산자가 에너지에 대응되므로 에너지 식은 시간의존인 경우에서도 성립이야 하지만, 이 경우 에너지를 곧바로 시간에 의존하지 않는 함수로 구할 수 있다. 조금 고민해보면 알겠지만 네 식은 근본적으로 같은 이야기를 하고 있다.

4 사용례

4.1 자유입자(Free Particle)

[math]V(x,t)[/math]에서 [math]x[/math]는 사실 3차원 위치를 나타내는 벡터량이지만, 대부분의 양자역학 개론서에서는 이 변태같은 방정식을 어디다 쓸지 훈련시키기 위해 1차원부터, 그것도 쉽게쉽게 구간별로 일정한 에너지를 갖는 경우부터 다루는 편이다. 가장 쉬운 예로 [math]V(x,t) = 0[/math]인 경우, 즉 대상 입자가 주변과 아무런 상호작용을 하지 않는 경우이다. 이 경우 해밀토니언은 [math]\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}[/math]이 되며, 슈뢰딩거 방정식은 [math]-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\Psi = i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi[/math]로 시간과 변위에 대해 쉽게 변수분리 가능한 꼴로 나오게 된다. 이 때 에너지와 운동량, 그리고 파동함수는 각각 [math]E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}[/math], [math]p = \hbar k[/math], [math]\Psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}[/math]가 된다. 자유입자는 고체이론 가운데 가장 기초적인 모델인 자유전자모델(Free Electron Model)에 사용된다.

4.2 퍼텐셜 우물(Potential Well)

흔히 "상자 속 입자(Particle in a box)"라고 부르는 문제가 있다. 1차원 공간 내 특정 구간에 입자가 갇혀 있는 것을 전제로, 아주 작은 확률로라도 구간을 벗어날 일이 없게끔 구간 밖을 몽땅 'infinite wall'이라 하여 퍼텐셜(위치에너지)이 무한대라고 설정해 놓은 무한 퍼텐셜 우물, 혹은 포텐셜의 상한값을 (상수로)설정하여 모델링한 유한 퍼텐셜 우물 같은 문제가 있다.

4.2.1 무한 퍼텐셜 우물(Infinite Potential Well)

자, 이제 길이 [math]L[/math]의 1차원 상자가 있다고 해보자.
그리고 입자는 상자 안에 있으며 상자안은 퍼텐셜 에너지 [math]V[/math]가 0, 상자 밖은 퍼텐셜에너지가 무한대여서 입자가 나갈수 없다고 해보자. 그렇게 되면 우리는 이 가정에서부터 중요한 경계 조건을 얻는다. 파동함수 [math]\psi(x)[/math]에서 [math]\psi(0)=\psi(L)=0[/math] 이라고 놓을 수 있다. 그렇다면, 이제 우리에게 남은것은 상자 안에서 슈뢰딩거 방정식을 푸는것이다.(상자 밖은 입자가 뚫고 갈 수 없으므로 [math]\psi(x)=0[/math]이 된다.)

[math]-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{2}\psi(x) }{dx^2 }=E\psi(x)[/math]

좌변의 계수를 옮겨서 정리하면

[math]\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x) = 0[/math]

이렇게 간단한 2계 상미분방정식이 된다. 이것의 일반해는 (여러분이 잘 아는 미분을 두 번 해서 부호만 다른 함수가 나오는)

[math] \psi(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)[/math]

꼴인데, 이제 여기에 [math]\psi(0)=0[/math]과 [math]\psi(L)=0[/math] 의 경계조건을 넣으면

[math] \psi(x)=A\sin(\frac{n\pi x}{L})[/math] (단, [math]n=1,2,3,...[/math]의 정수)

이라는 상당히 간단한 함수가 나오며, 이 슈뢰딩거 방정식의 Eigenvalue에 해당하는 [math]E[/math]는 그냥 저 해를 도로 슈뢰딩거 방정식에 대입해 보면 [math]E=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}[/math]임을 쉽게 알 수 있다. 이것이 바로 이 1차원 상자 문제에서 입자가 가질 수 있는 에너지이다. 그렇다면 [math]A[/math]는? 바로 파동함수의 '규격화'를 이용하면 구할 수 있다. 모든 파동함수는 [math]\int_{-\infty }^{\infty }dxP(x)=\int_{-\infty }^{\infty }dx\psi^{*}(x)\psi(x)=1[/math] 의 규격화 조건을 만족해야 하므로, 이 파동함수가 특정 값을 가지는 실질적인 구간인 0부터 [math]L[/math]까지 적분하면 [math]A=\sqrt{\frac{2}{L}}[/math]이다.

정리하면, 길이 [math]L[/math]의 1차원 상자의 슈뢰딩거 방정식을 풀면
[math] \psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}), E=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}[/math] (단, [math]n=1,2,3,...[/math]의 정수)
과 같이 된다.

4.2.2 유한 퍼텐셜 우물(Finite Potential Well)

퍼텐셜이 특정 영역에서 무한대의 높이가 아닌 유한한 높이를 가진 경우에는, 경계조건만 조금 바뀔 뿐 풀이 방법은 무한 퍼텐셜 우물의 경우와 같다. 여기서 퍼텐셜이 유한하다면, 비록 입자가 가지고 있는 에너지가 퍼텐셜보다 낮다고 할지라도, 어느 정도 벽을 뚫는다. 고전역학적으로 명백하게 불가능한 현상으로, 이 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 나타나는 양자역학에서의 기현상 중 하나이다. 또한, 이렇게 벽을 뚫는 파동함수의 성분 외에 고전적인 경우처럼 벽에 반사되는 파동함수 성분도 계산이 가능하다.

4.4 단순 조화 진동자(Simple Harmonic Oscillator)

퍼텐셜이

[math]V(x) = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}[/math]

의 꼴인 경우 단순 조화 진동자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식

[math] -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(x) }{dx^2}+ \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\psi(x)=E\psi(x) [/math]

을 얻게 된다. 이 방정식은 위의 경우처럼 간단하게는 안 풀리고, 급수 해법을 이용하여 미분방정식을 직접 푸는 방법이나, 사다리 연산자(Ladder operator)를 이용한 대수적인 방법 등으로 풀어야 한다.

우선 위의 미분방정식에 있는 귀찮은 계수들도 처리할겸 변수를 무차원화 시켜보자.

[math]x=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\xi[/math], [math]\epsilon=\frac{E}{\hbar\omega}[/math]

로 놓고 대입해보면 위에 변수 앞에 붙은 지저분한 계수들이 다음과 같이 깔쌈하게 정리된다. 오오 무차원화 오오

[math] \psi''(\xi)+\left(2\epsilon-\xi^{2}\right)\psi(\xi)=0[/math]

위에 것보단 훨씬 간단해졌지만, 그래도 아직 해를 내기에는 우린 아직 준비가 안 됐다. 여기서 우리는 [math]\xi[/math]를 무한대로 보냈을 때(물론 엄청나게 멀리 보낸다는 의미에서 무한대의 의미이다. 점근하는(asymptotic) 해의 개형이라고 생각해두자) 저 미분방정식이 어떻게 근사되는지 살펴서 해의 개형에 대한 실마리를 얻어야 한다. 먼저 저걸 무한대로 보내버리면, 괄호 안에서 [math]\epsilon[/math]이 [math]\xi^{2}[/math]보다 압도적으로 작아지므로 방정식이 다음과 같이 근사된다.

[math] \psi''-\xi^{2}\psi=0[/math]

이녀석의 해는 일반적으로

[math]\psi=\exp\left(\pm \xi^{2}/2\right)[/math]

임이 알려져 있는데, 우리가 생각해 봐야 될게 슈뢰딩거 방정식의 해는 규격화 가능해야 한다는 것이다. 즉 원래 파동함수의 절댓값의 제곱을 해서 나온 확률밀도함수를 전체 구간(조화 진동자의 경우는 마이너스 무한대부터 무한대까지)에서 적분한 값이 1이 되어야 하는데, 위 해 중에서 지수에 +가 들어간 경우는 암만 봐도 ±무한대에서 발산해버리니, 실질적으로는

[math]\psi=\exp\left(- \xi^{2}/2\right)[/math]

이놈밖에 점근해로 쓸 수가 없는 것이다. 그러면 이제 무한대로 보내버리기 전에 원래 식으로 돌아와 보면, 파동함수는 아마 다음과 같은 꼴일 거라고 가정해 볼 수 있겠다.

[math]\psi=H(\xi)\exp\left(- \xi^{2}/2\right)[/math]

저 [math]H(\xi)[/math]는 어떤 함수이며, 위에서 말한 점근 조건을 만족시키기 위해 무한대로 보내버렸을 때 발산해서는 안 될 것이다. 한 번 바로 위의 무차원화 시킨 방정식에다 때려박아보자. 다음과 같은 식이 나온다.

[math] H''(\xi)-2\xi H'(\xi)+(2\epsilon-1)H(\xi) = 0[/math]

이제 비로소 우리가 비벼볼 수 있는 미분방정식이 유도되었다. 잠깐만요 더 복잡해졌잖아요 이걸 이제 직접 급수 해법으로 계수 맞추기 노가다로 풀어보면, 다음과 같은 멱급수로 나타내어진다.

[math]H(\xi)=a_{0}\left[1+\frac{1-2\epsilon}{2}\xi^{2}+\frac{(5-2\epsilon)(1-2\epsilon)}{24}\xi^{4}+\cdots \right]+a_{1}\left[\xi+\frac{3-2\epsilon}{6}\xi^{3}+\frac{(7-2\epsilon)(3-2\epsilon)}{120}\xi^{5}\cdots\right][/math]

...어 근데 이거 뭔가 발산하는거 같은데? 망했어요. 저 위에서부터 고생 해서 구한 해가 틀린 해입니다.

아아... 그렇다면 정말 방법이 없는 걸까? 음... 일단 우리가 방금 구한 해를 유심히 살펴보도록 하자. 무한히 더해나가는 멱급수 형태인데, 자세히 보면 급수 안에 [math]\epsilon[/math]이 좀 눈엣가시처럼 여겨질 것이다. 저 [math]\epsilon[/math]이 어떤 특정한 값만 가지게 하면 해결될 것 같다. 만일 저 [math]\epsilon[/math]이

[math]\epsilon_{n}=\frac{2n+1}{2}[/math], [math]n=0,1,2,\cdots [/math]

의 값을 가지게 된다면 저 무한히 더해지는 항들이 마법처럼 사라지고, [math]H(\xi)[/math]는 다항식으로 남게 된다. 여기서 이 [math]H(\xi)[/math]가 바로 에르미트(Hermite) 다항식이다. 이 에르미트 다항식에 대해서는 특수함수를 참고하고, 우리는 여기서 조화 진동자에 대한 엄청나게 중요한 성질을 얻게 되었다.

단순 조화 진동자의 에너지 준위는 불연속적인 값만을 가지며, 이들은 서로 균일한 값만큼 떨어져 있다.

단순 조화 진동자의 에너지 최솟값은 0이 아니며, 이를 영점 에너지(zero-point energy)라고 한다.

[math]\epsilon[/math]을 [math]E[/math]로 복원해 놓으면

[math]E=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega[/math], [math]n=0,1,2,\cdots [/math]

이제 에너지는 구했으니, 파동함수를 구해보면

[math]\psi(x)=\left(\frac{m\omega}{2^{2n}\pi\hbar(n!)^{2}}\right)^{1/4}\exp\left(-\frac{m\omega x^{2}}{2\hbar}\right)H_{n}\left[\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right][/math]

라는 매우 구질구질한 함수가 튀어나온다(앞의 계수는 규격화 상수이다). 정말 오랜 작업 끝에 단순 조화 진동자의 슈뢰딩거 방정식을 풀 수 있었다. 한가지 유념해야 될 점은, 이렇게 복잡한게 1차원의 경우라는 것이다. 만약 3차원 조화 진동자를 구면좌표계에서 풀라고 하면... 고만해 미친놈들아

단순 조화 진동자는 해석적으로 정확하게 풀리면서도 실제 물리적 상황을 이해하는데 대단히 유용한 시스템이다. 대표적으로 여러 개의 자유 보존은 여러개의 단순 조화 진동자와 같이 행동한다.

4.4.1 사다리 연산자

좀 더 간단히 계산하는 방법으로 바로 사다리 연산자 (혹은 생성, 소멸 연산자)가 있다.
단순 조화 진동자의 해밀토니언[math]\hat{H}[/math]은 올림(생성) 연산자 [math]\hat{a}^{\dagger}[/math]와 내림(소멸) 연산자 [math]\hat{a}[/math]를 통해 아래와 같이 표현된다. 연산자의 정의는 추가바람.
[math]\hat{H}=\hbar\omega(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2})[/math]

여기서 [math]\hat{a}^{\dagger}\hat{a}[/math]의 고유 함수에 올림 연산자를 적용하면 1만큼 더 큰 고유치를 가진 고유 함수가 되며, 내림 연산자를 적용하면 1만큼 더 작은 고유치를 가진 고유 함수가 된다. 여기서 예외는 [math]\hat{a}^{\dagger}\hat{a}[/math]의 Kernel인데, 내림 연산자를 적용하면 0이 된다. 그러므로 정수가 아닌 고유치를 가진 고유 함수가 존재한다면, 0보다 작은 고유치를 가진 고유 함수도 존재하게 된다.
하지만 계산을 해보면, [math]\hat{a}^{\dagger}\hat{a}[/math]의 고유치는 절대 0보다 작은 값을 가질 수 없다.

그러므로 [math]\hat{a}^{\dagger}\hat{a}[/math]의 고유치는 0보다 작지 않은 정수가 되며, 고유 에너지는 [math]\hbar\omega(n+\frac{1}{2})[/math]가 된다. 이 때 고유 함수는 [math]\hat{a}^{\dagger}\hat{a}[/math]의 Kernel을 구한 다음 생성 연산자를 반복해서 적용하면 된다.

4.5 강체회전자(Rigid Rotor), 스핀(Spin)

두 가지 항목이 같이 써있으나, 엄밀히 말하자면 두 경우의 유도 과정은 다르다. 먼저 non-spherical한 강체에 대한 슈뢰딩거 방정식은 모든 경우에 대한 일반해는 구할 수 없다. 슈뢰딩거 방정식에서 강체회전자는 [math] I_1=I_2=I_3[/math] 의 spherical state인 경우이거나, 홑원소 이원자 분자, 즉 선형 강체에 대해 주로 서술된다. 다른 슈뢰딩거 방정식과 비교했을 때 특이점이라면 선운동량이 아닌 각운동량에 대해 기술된다는 점인데, 헤밀토니안 연산자를 취하고 spherical coordinate를 사용하면 비교적 간단히 방정식들을 유도, 도출해낼 수 있다. 단, 시간에 대해 비의존적인 정적 상태에 대한 해만.

특이점으로 spherical rigid state의 해를 구하는 경우 spherical harmonics에 대해 정리함으로써 오비탈의 에너지 또한 계산해낼 수 있다.

4.6 수소 원자(Hydrogen Atom)

이제 당신은 수소 원자를 다루기 위한 도구를 얻었다! 그리고 그 과정에서 사용되는 괴상한 함수들은 앞으로 계속, 계~속 늘어날 거다 사용되는 수학적 도구로는 Legendre 다항식, Laguerre 다항식, Bessel 함수 등이 있다. 학부에서는 보통 푸는 개념만 가르치고 결과물을 해석하는 방법을 위주로 배우는 경우가 많지만, 학교나 학과, 과목에 따라서는 모든 수식의 풀이과정을 이해할 것을 요구하는 경우도 있다.(그런데 사실 사다리 연산자(ladder operator)라고 불리는 꼼수를 통해 수식을 회피해서 간단하게 접근할 수 있는 방법이 있다.) 수소 원자를 기술할 때는 보어 근사에 의해 원자핵의 영향은 무시하며, 전자 하나가 중심 방향으로 전자기 인력 퍼텐셜을 받는 경우를 가정한다.

4.7 주기적 퍼텐셜 모델 (Periodic Potential)

주로 고체구조에서 주기적 원자배열에 따른 퍼텐셜이 나타날때 사용한다. 주기적 퍼텐셜의 형태에 따라 다양한 모델이 있는데, 가장 간단한 Kronig-Penny 모델 정도는 해석적으로 Bloch function을 이용하면 쉽게 풀 수 있다. 이 주기적 퍼텐셜 모델을 풀면 에너지 밴드이론을 설명할 수 있는데, 이 에너지 밴드 이론은 고체물리, 반도체공학, 전자재료 등에서 매우 중요하다.

4.8 기타

사실 슈뢰딩거 방정식을 해석적으로 풀 수 있는 물리적 계(system)는 거의 없다. 슈뢰딩거 방정식을 적는 것은 어려운 일이 아니지만 그걸 푸는 것은 대단히 어려운 경우가 보통이고, 해석적으로 정확하게 풀 수 있는 경우는 대단히 드물다. 주기율표상의 원자들에서는 수소와 수소꼴 원자(수소처럼 전자 하나만을 가지는 이온들)를 제외하면 당장 헬륨부터 해석적인 해를 얻을 수 없으며, (입자물리나 광자 한두 개 수준을 다루는 연구를 하지 않는 이상) 실생활이나 실제 연구에서 맞닥뜨리는 상황의 99% 이상은 정확한 해석적인 접근이 불가능하다. 따라서 이후에는 대체로 근사법(WKB approximation, Variational method, Perturbation theory 등등) 정도가 공통적으로 중요하게 다루어지며, 나머지 내용은 분야, 저자, 그리고 교재의 목적에 따라 천차만별로 다양하다. 예를 들어 물질의 성질을 양자역학적으로 연구한다 했을 때, 단순한 분자나 결정 물질의 경우 몇 가지 근사와 수치해석적인 방법을 이용해 슈뢰딩거 방정식을 풀게 되며 비교적 아주 정확한 결과를 얻을 수 있는 경우부터 쉽사리 답을 얻기 어려운 경우까지 다양한 상황이 존재한다. 기존의 방법으로 만족할만한 수준의 답이 나오지 않는다면 연구 주제가 된다.

이렇게 물리학도들을 멘붕에 빠드리기는 해도, 한가지 다행인 점을 꼽자면 이 악독한 녀석이 그나마 선형 미분방정식이라는 것이다. 그 답안나오는 방정식보다야...

5 한계

비상대론적이어서 입자가 충분히 빠른 속도로 이동할 때는 운동이 제대로 기술되지 않는다. 그리고 전자기장을 걸어준 경우, 스핀이 존재한다면 슈뢰딩거 방정식을 따르지 않고 파울리 방정식을 따르게 된다.

6 의의

슈뢰딩거 방정식은 흔히 미분방정식 꼴(Differential equation form)이라고 일컬어지며, 이와 독립적으로 베르너 하이젠베르크가 창안한 행렬 꼴(Matrix form)과 함께 양자역학을 기술하는 양대 방법이다. 기존까지 광양자가설이니 물질파이론이니 단편적으로만 해석되던 양자역학을 체계적으로 기술할 수 있는 master equation을 제시했다는 점에서 큰 의의를 갖는다.