초등함수

1 정의

初等函數
elementary function

초등학교에서 배우는 함수가 아니다! 네모 = 세모 + 3, 세모가 2일 때, 네모는 얼마입니까? 왜 그렇게 생각합니까?

상수함수, 다항함수, 유리함수(두 다항식의 비로 표현할 수 있는 함수), 무리함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수를 통틀어서 초등함수라 부른다. 초등함수의 합성으로 만들 수 있는 함수들도 역시 초등함수다. 초등함수가 아닌 함수들은 특수함수로 부른다.

초등함수와 초월함수에 걸쳐져 있는 셋의 정의를 보면 다음과 같다. 셋 다 유한개의 항으로 정의가 될 수 있지만, 일반적인 초등함수와는 차이가 있음을 알 수 있다.

  • 지수함수 : [math]y = a^{x}[/math] (단 [math]a \neq 0[/math])
  • 로그함수 : [math]x = a^{y}[/math] (단 [math]a \neq 0, x \gt 0[/math])
  • 삼각함수([math]e[/math]자연상수, [math]i[/math]허수단위)
    • [math]{\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}[/math]
    • [math]{\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}[/math]
    • [math]{\displaystyle \tan x = {\sin x \over \cos x} = -i \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}}[/math]

삼각함수는 지수함수나 로그함수에 비해 정의가 복잡하게 되어 있는데, 이는 기하학의 영역인 삼각비를 레온하르트 오일러오일러의 공식을 통해 대수학의 영역으로 끌어온 결과물이기 때문.

대수학적으로 초등함수는 초등 미분 확대체(elementary differential extension field)의 원소로 생각할 수 있다. [1]

2 기타

  • 적분연산에 취약하다. 초등함수를 적분하면 다항함수를 제외하면 대부분은 초등함수가 아닌 이상한 함수가 나온다.