1 요약 (원과 삼각형, 직선에 관한 정리)
한 원 위에 있는 임의의 점 [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math], [math]D[/math], [math]E[/math], [math]F[/math]를 잡자. 현 [math]\overline{AB}[/math]와 현 [math]\overline{DE}[/math]의 교점을 [math]J[/math], 현 [math]\overline{BC}[/math]와 현 [math]\overline{EF}[/math]의 교점을 [math]L[/math], 현 [math]\overline{CD}[/math]와 현 [math]\overline{AF}[/math]의 교점을 [math]K[/math]라 하면, 점 [math]J[/math], [math]K[/math], [math]L[/math]은 한 직선 위에 있다.
2 증명
[math]\triangle{GHI}[/math]와 [math]\overline{DKC}[/math]에서 메넬라우스의 정리를 적용하면
[math]\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}}[/math][math]\frac{\overline{HD}}{\overline{DI}}[/math][math]\frac{\overline{IC}}{\overline{CG}}[/math]=1 ☞ ①
[math]\triangle{GHI}[/math]와 [math]\overline{AJB}[/math]에서 메넬라우스의 정리를 적용하면
[math]\frac{\overline{GA}}{\overline{AH}}[/math][math]\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}[/math][math]\frac{\overline{IB}}{\overline{BG}}[/math]=1 ☞ ②
[math]\triangle{GHI}[/math]와 [math]\overline{FLE}[/math]에서 메넬라우스의 정리를 적용하면
[math]\frac{\overline{GF}}{\overline{FH}}[/math][math]\frac{\overline{HE}}{\overline{EI}}[/math][math]\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}[/math]=1 ☞ ③
방멱의 정리에 의해
[math]\overline{BI}[/math] [math]\overline{CI}[/math]=[math]\overline{DI}[/math] [math]\overline{EI}[/math]
[math]\overline{AH}[/math] [math]\overline{FH}[/math]=[math]\overline{DH}[/math] [math]\overline{EH}[/math]
[math]\overline{GA}[/math] [math]\overline{GF}[/math]=[math]\overline{GC}[/math] [math]\overline{GB}[/math]
위의 세 식을 ④라고 하자.
①, ②, ③을 모두 곱한다.
[math]\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}}[/math][math]\frac{\overline{HD}}{\overline{DI}}[/math][math]\frac{\overline{IC}}{\overline{CG}}[/math][math]\frac{\overline{GA}}{\overline{AH}}[/math][math]\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}[/math][math]\frac{\overline{IB}}{\overline{BG}}[/math][math]\frac{\overline{GF}}{\overline{FH}}[/math][math]\frac{\overline{HE}}{\overline{EI}}[/math][math]\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}[/math]=1
그리고 식 ④를 적용해 분자의 [math]\overline{BI}[/math] [math]\overline{CI}[/math]는[math]\overline{DI}[/math] [math]\overline{EI}[/math]로, 분자의 [math]\overline{AH}[/math] [math]\overline{FH}[/math]는[math]\overline{DH}[/math] [math]\overline{EH}[/math]로, 분자의 [math]\overline{GA}[/math] [math]\overline{GF}[/math]는[math]\overline{GC}[/math] [math]\overline{GB}[/math]로 바꾸고, 소거시킬 수 있는 것들을 소거하면
[math]\frac{\overline{GK}}{\overline{KH}}[/math][math]\frac{\overline{HJ}}{\overline{JI}}[/math][math]\frac{\overline{IL}}{\overline{LG}}[/math]=1이 된다.
그러므로 메넬라우스의 정리의 역에 의해 세 점 [math]J[/math], [math]K[/math], [math]L[/math]은 한 직선 위에 있다.
3 요약 (원뿔곡선에 내접하는 육각형에 대한 정리)
| 파일:파스칼 포물선 타원.jpg | |
| 포물선 | 타원 |
| 파일:파스칼 쌍곡선.jpg | |
| 물론 육각형이 쌍곡선 한쪽에만 내접해도 된다. | |
원뿔곡선에 내접하는 육각형의 대변의 연장선은 한 직선 위에 있다.