1 퍼지 함수
퍼지 논리(fuzzy logic) 혹은 퍼지 이론(fuzzy theory) 이라고도 불린다. 아제르바이잔 출신 미국인 수학/공학자 롯피 자데(Lotfi A. Zadeh)가 처음으로 제안했다.
우리가 흔히 알고 있는 명제 혹은 집합에서는 참, 거짓과 같이 객관적으로 뜻이 명확한 것들만을 다룬다. 그러나 그런 이상적인 상황과는 달리, 실제 생활에서는 뭐든지 참이나 거짓으로 딱 나뉘지 않는다. 이 애매모호한 기준을 다루기 위해 생긴 수학적 도구가 바로 퍼지 이론이다.[1] 따라서 퍼지 이론에서는 불분명하거나 주관적인 기준 역시 명제, 집합 따위를 이용해 설명할 수 있다. 그렇다고 수학 시험에서 틀린 명제나 주관적인 사실을 갖다가 "퍼지이론으로 하면 맞는데요?"라고 하진 말자.
예를 들어, 일반적인 명제, 집합에서는 '작은 숫자들의 모임'과 같이 주관적인 건 정의되지 않았다. 그러나 퍼지 이론에서는 그런 불분명한 기준을 정도에 따라 단계별로 제시하여 설명한다. 예컨대 '빠른 동물들의 모임'이라고 하면 '빠른 동물들', '조금 빠른 동물들', '조금 느린 동물들', '느린 동물들' 등으로 분류할 수 있다.
퍼지 이론은 처음엔 잘 받아들여지지 못했다. 많은 사람들이 '애매한 기준'에 대해 수학적으로 논한다는 것 자체가 기존의 수학 개념들과 상반되어 허용될 수 없다고 생각했기 때문이다. 당장 자데의 절친한 친구이자, 칼만 필터를 개발한 루돌프 칼만에게 혹독한 평가를 들었는데, 절친한 동료로부터도 비난을 받을 정도이니 말 다한것이다. 그러나 애매모호한 기준을 다루는 퍼지는 실제 상황을 다루기가 편리했으므로 여러 분야에 널리 쓰이게 되었다.(이때 일본이 퍼지 논리를 적극적으로 받아들여 기술 수준을 크게 향상시켰다.) 결국 퍼지 함수는 없어선 안 될 중요한 이론이 되었다. 오늘날 퍼지 함수는 세탁기, 사진기, 발효 식품, 자동차 브레이크와 엔진, 컬러 필름 현상, 제조 공정, 인공지능 등 다양한 방면에 걸쳐 응용되고 있으며, 퍼지 논리를 활용하여 사회과학 제 분야에서 특정 사회 현상의 (충분)조건을 밝히거나 특정 사회 현상을 충족하는 유형의 분류 등에 활용하고 있다[2].
2 퍼지 집합
일반적인 집합을 [math]X[/math]라 할 때 퍼지 집합은 각 원소들에 대하여 소속도(grade)의 개념을 추가한 집합을 말한다. 예를 들어 함수 [math]f:X\to \left[0, 1\right][/math]가 있을 때 다음과 같은 집합을 말한다.
- [math]\left\{\left(x, f\left(x\right)\right)|x\in X\right\}[/math]