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1 논리학에서의 명제
가치판단이 개입될 수 없는, 누구라도 참인지 거짓인지 (일치된) 판단을 할 수 있는 문장.
예를 들자면
중고등학교 수학의 객관식 시험에서는 '명제가 아닌 것을 고르시오'라는 문제에 거짓인 명제를 선지로 제시해서 학생들을 낚기도 한다. 어설프게 공부한 학생들은 '어 틀렸는데?' 하고 바로 찍어버리고는 틀려 버린다.
한편 명제가 아닌 즉 참과 거짓을 구분할 수 없는 문장의 대표적인 예는 x>3 처럼 조건을 지정하지 않으면 참거짓을 알 수 없는 명제나[2] '미나는 예쁜 아이다'처럼 대답하는 사람에 따라서 참거짓이 달라질 수 있는 문장, 아니면 '영수는 공부를 잘 한다' 등 애초에 참과 거짓의 명확한 기준이 없는 문장, 혹은 아잉♥ 등 무슨 수를 써도 참거짓의 판단 자체가 불가능한 문장이나, "이 문장은 거짓이다"와 같이 모순이거나, 'Ariel Hanson is a man[3]' 등 애매어가 포함된 문장 등.
이러면 1+1=2가 왜 참이냐는 식으로도 반문할 수 있는데, 이런 경우는 수학에서 '공리'라고 한다. 처음에 규칙을 그렇게 정해놨으니까 그건 따지지 말고 넘어가자는 것. 유클리드는 대수학의 5대 공리와 기하학의 5대 공준, 그리고 23개의 용어의 정의를 제시했지만 현대 수학에서는 그런 건 안 따지는 분위기다. 유클리드의 제5 공준이 현대 기하학에서 개발살난 것도 있고[4] 그 23개 정의나 5대 공리, 공준이 현대 수학의 관점에선 엉성하기도 하고. 일단 현대 수학에서는 새로운 분야를 개척할 때 그 분야의 공리 체계부터 먼저 깔아두고 시작해야 한다. 물론 1+1=2조차도 제대로 증명을 하려 든 수학자들도 있다(…). 수학귀신에 따르면 이거 증명이 A4 한 페이지[5] 이상은 된다고.
당연히 논리학의 기본 요소이며, 형이상학적인 개념들을 증명할 일이 많은[6] 수학에서도 벽돌로 쓰이고 있다.
어떤 명제를 뒤집는 방법은 3가지가 있다. 원명제(p → q)의 순서를 뒤집는 방법(q → p)이 있고 명제 자체를 통째로 부정하는 방법(~p → ~q)이 있다. 전자를 역(逆)이라고 하고 후자를 Yee이(裏)라고 한다. 마지막으로 역과 이를 동시에 적용할 수도 있는데(~q → ~p), 이를 대우(對偶)라고 한다.
뒤집은 명제를 나타낸 그림. 빨간색이 역, 초록색이 이, 파란색이 대우 관계를 나타낸다.
참인 명제의 역과 이는 참이 아닐 수도 있지만 대우는 반드시 참이라는 특징이 있다. 때문에 전건 부정법과 후건 긍정법은 논리적 오류가 되지만 후건 부정법은 언제나 합당하다.
이 부분에 대해서는 '필요조건'과 '충분조건'이라는 개념을 이해할 필요가 있다. 'p이면 q이다'라는 명제가 있고 그 명제가 참일 때 q는 p이기 위한 필요조건이 되고 p는 q이기 위한 충분조건이 된다. 예를 들어서, '밥을 먹으면 배부르다'는 명제가 있다면 '배가 부르다'는 것은 '밥을 먹기' 위한 필요조건이고, '밥을 먹는다'는 것을 '배가 부르기' 위한 충분조건이 된다.
항상 참인 명제를 항진명제(tautology)라고 한다. 개별 문서가 있는 항진명제로는 퍼스의 항진명제가 있다.
2 중국 황제
2.1 후한 명제
광무제의 4남으로 후한의 2대 황제인 유장(劉莊, 28~75, 재위 57~75)은 한명제 항목 참조.
2.2 조위 명제
위 문제 조비와 문소황후 사이에서 태어난 조예는 해당 항목 참조.
2.3 동진의 명제
- 숙종(肅宗) 사마소 참조
2.4 후조의 명제
- 초대 황제 석륵 참조
2.5 북주의 명제
- 2대 황제 세종(世宗) 우문육(宇文毓)
2.6 유송의 명제
- 6대 황제 유욱 참조
2.7 남제의 명제
- 5대 황제 소란 참조
2.8 수의 명제
- 2대 황제 수양제 참조
- ↑ 기준이 명확하지 않아서 명제가 아니다. 즉, 사람마다 예쁜지 아닌지 판단하는 것이 달라질 수 있는 문장이라 명제가 될 수 없다.
- ↑ 이런 건 '명제함수'나 '조건명제', 더 줄여서 '조건'이라고 부르는데, 햄과 햄스터가 별 관련 없는 것 처럼 이름에 '명제'가 들어갔다고 해서 이들이 명제인 건 아니다. 낚이지 말자. 명제는 누구라도 참거짓을 정확히, 똑같이 판단할 수 있어야 한다.
- ↑ man이라는 명사를 인간으로 보느냐 남자로 보느냐에 따라서 진위값이 달라짐. 물론 실제로는 문맥에 따라서 진위값이 결정되겠지만, 이렇게 앞뒤 다 잘라먹으면 판단이 불가능하다.
- ↑ 간단하게 말해, 유클리드의 제5 공준이 기하학에 있어서 반드시 필요한 공준이 아님을 증명하는 과정에서 현대 기하학이 탄생한다. 그리고 그 비유클리드 기하학을 기반으로 해 상대성 이론이 탄생한다.
- ↑ 보다 많다. 수학 귀신에 나온 증명은 다른 정리를 증명해놓고 1+1=2를 증명한 Principia Mathematica의 한 페이지를 그대로 따온 거라(게임으로 치면 처음부터 끝까지의 여정은 싹 잘라먹고 최종보스 잡는 장면만 보여준 꼴) 그 앞부분의 증명까지 다 포함하면 책 한 권 분량이다.
- ↑ 논리학은 주어진 명제의 참과 거짓을 증명 하는 '방법'에 관심을 갖지만, 수학은 주어진 명제의 참과 거짓을 증명하는 일 자체에 관심을 갖는다. 그렇다고 수학과 논리학이 동일 선상에 있다는 이야기는 아니고.