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1 개요
퍼텐셜 에너지(potential energy)는 역장에서 물체의 상태[1]에 따라 갖는 에너지를 일컫는 말이다. 대한민국의 초, 중학교 과정에서는 위치 에너지라고 번역된 용어를 사용하고 있으나 사실 물리학적으로 볼 때 그리 좋은 번역은 아니다.[2] 그래서인지 2009 개정 교육과정 때 고등학교 물리 교과에서는 퍼텐셜 에너지라는 용어를 사용한다.
퍼텐셜 에너지의 예시로 중력장하에서 높이에 따른 물체의 에너지나 고무줄 스프링과 같은 탄성이 있는 물체가 자연 길이에서 변했을 때 갖는 에너지등을 들 수 있다. 퍼텐셜 에너지는 운동에너지와 묶여 역학적 에너지라 불리며, 저항이 없으면 운동 에너지와 위치 에너지간의 전환은 일어나지만 둘의 합인 역학적 에너지는 보존된다.
관례적으로 역장(=힘의 위치와 방향)이 0인 지점을 이 에너지도 0인 원점으로 삼으며, 여기서 역장과 크기는 같고 방향만 반대인 힘을 지속적으로 가해서 등속직선운동을 유지하며 역장 내 특정 상태에 갖다 놓는 데 쓰이는 에너지로 정의한다. 수식으로 표현하자면 [math] \displaystyle \int_{x_0}^{x'} (-\vec{F})\cdot \vec{dx}[/math][3]. 인력[4]이 작용시엔 가하는 힘과 이동해야 하는 방향이 반대이기 때문에 0보다 작은 값을 가지며, 척력일 경우엔 0보다 큰 값을 갖는다. 또한 외력이 작용하지 않는다면 대상은 높은 값을 가진 상태에서 낮은 값을 가진 상태로 이동한다. 이에 대해선 물리적으론 '힘에 반대로 억지로 끌고온거니 역장에 의한 힘은 낮은쪽으로 향한다'고 생각하기를. 수식으론 역장이 해당 상태에 가하는 힘 [math] \vec{F} = -\vec{\nabla}{\phi} [/math]. 전체로 치면 가장 낮은 값은 아니나 주변상태에 비해 낮은 값이어서 여기 머무르는 경우(함수의 극소점)가 있는데, 이를 준안정상태라고 하며 이 상태의 대표적인 예시론 과냉각이 있다.
결국엔 게이지 이론의 대상인 에너지라 구체적인 값보다는 다른 상태와의 차이가 중요하며, 실제 운동에 영향을 끼치는 값도 차이값이다. 0점에 대한 설명에 관례라는 말을 붙인 이유도 이것때문으로, 두 상태를 비교하고자 하면 한 상태를 원점으로 잡아버리고 계산해도 무방하다.
2 보존력장과 퍼텐셜 에너지
퍼텐셜 에너지는 일의 정의와 밀접하게 관련되어 있는데, 만약 어떤 힘이 물체에 해주는 일이 경로에 무관하게 물체의 위치에 대한 함수로 주어진다고 하면 [math]x_A[/math] 에서 [math]x_B[/math]로 옮겨지는 데 그 힘이 한 일의 양은 다음과 같다.
[math]\displaystyle W = \int_C \vec{F}(x)\cdot dx = U(\vec{x}_A) - U(\vec{x}_B)[/math]
여기서 U는 퍼텐셜 에너지 함수라 부르며, C는 [math]x_A [/math]와 [math]x_B[/math]를 잇는 어떤 임의의 경로다. 퍼텐셜 에너지 함수는 보통 힘이 한 일에 -를 붙여서 정의한다. 일반적으로 가해지는 힘은 위치에 대한 함수임을 유의하자.
이제 [math]x_A = x_B[/math]인 상황을 가정하면 C는 닫힌 경로가 되며 다음과 같은 관계를 만족하게 된다.
[math] \displaystyle \oint_C \vec{F}\cdot d\hat{x} = 0 [/math]
여기에 스토크스 정리를 이용하면
[math] \int_S \nabla \times \vec{F}\cdot d\vec{a} = 0[/math]
S는 C를 경계로 갖는 2차원 면인데 C가 임의의 폐곡선이었으므로 결국 임의의 S에 대해 위의 관계가 성립하므로 적분되는 함수 자체가 모든 곳에서 0이어야만 한다. 따라서 [math]\vec{F}[/math]는 curl이 없는 벡터장임을 알 수 있다. 이에 따라 어떤 스칼라 함수 [math]\phi[/math]를 이용해 [math]F(x) = \nabla \phi(x)[/math] 로 쓸 수 있고[5] 처음 관계에 이것을 대입하면
[math]\displaystyle W = \int_C \nabla \phi(x) \cdot dx = \phi(x_B) - \phi(x_A) = U(x_A) - U(x_B)[/math]
가 된다. 그래서 [math]\phi = - U[/math]이고
[math]\displaystyle F = - \nabla U[/math]
가 된다(마이너스 부호에 주의할 것). 이런 관계가 성립되는 경우 F 를 보존력장이라한다.
여기서 한 가지 주의할 것은 위의 논의에서 물리적으로 측정할 수 있는 것은 [math]F[/math]이지 [math]U[/math]가 아니다. 따라서 함수 [math]U[/math]를 상수 만큼 변화시켜도 물리적으로는 아무런 영향이 없다[6]. 따라서 우리는 편의에 따라 [math]U(x) =0[/math] 인 x를 정할 수 있다(경우에 따라 무한대에 둘수도 있다.).
3 퍼텐셜 에너지의 예
3.1 스프링
스프링의 경우 자연 길이에서 길이를 늘리거나 줄인 채 유지하려면 일정한 힘을 유지해야하는데 이 때 필요한 힘은 변위가 크지 않을 때 변위에 비례하는데 이걸 훅의 법칙이라 한다.
[math] \displaystyle F = - k (x-x_0)[/math]
[math]k[/math]는 양수이며 스프링 상수라 부르고 [math]x[/math]는 스프링의 길이 [math]x_0[/math]스프링의 자연길이다. 스프링을 자연길이에서 어떤 길이 [math]x'[/math]까지 늘리는데 필요한 일의 양은
[math] \displaystyle \int_{x_0}^{x'} (-F) dx = -\int_{x_0}^{x'} k (x-x_0) dx = \frac{1}{2} k (x'-x_0)^2[/math]
길이를 줄이는 경우에도 마찬가지 관계가 성립한다. 참고로 스프링 끝에 질량을 달면 조화 진동자가 된다.
3.2 중력
지구가 다른 물체에 가하는 중력을 생각하자. 뉴턴의 법칙에 의해서 지구에서 물체에 가하는 중력은
[math] \displaystyle \hat{F} = - \frac{G M m \hat{r} }{r^2}[/math]
가 된다. [math]\hat{r}[/math]물체가 있는 위치에서 지구 중심에서 바깥으로 뻗어나가는 방향의 단위 벡터다. 그림을 그려봐도 알겠고 계산해봐도 알겠지만 당연히 curl이 없는 보존력장으로 퍼텐셜을 적을 수 있는데 한가지 유의점이 있다. 퍼텐셜 에너지 함수를 적을 때 어디를 영점으로 두느냐는 완전히 임의적이지만 일반적으로 사용하는 위치는 사용하기 편리한 점인 경우가 보통이다. 그런데 중력장과 같이 [math]1/r^p[/math]의 꼴인 경우 퍼텐셜 에너지가 0이 되는 점을 무한대에 두는 것이 편리하다. 따라서 중력장에 의한 퍼텐셜 에너지는
[math]\displaystyle \phi(r) = - \frac{G M m}{r}[/math]
가 된다. 따라서 언뜻보면 원점으로 다가올수록 무한정 퍼텐셜 에너지가 감소하므로 무한대의 에너지원을 찾은 것 같다. 그러나 위의 식은 물체가 지구 밖에 존재하고 지구와 물체가 완벽한 구라는 가정에서만 정확한 식이다. 이에 대한 자세한 내용은 중력을 참고.
물리학 교과서 초반부에 자주 다뤄지는 상황은 물체가 지표면에 대단히 가까운 상황인데 이 경우엔 지표면의 중력 가속도라는 양을 이용하는 것도 충분하다. 지표에서 가까운 위치를 가정하고 테일러 전개를 해보면 다음과 같은 결과를 얻게 된다.
[math] \displaystyle \phi(r + h) =- \frac{G M}{r+h} = \frac{GM}{r} (- 1 + h + \cdots) [/math]
여기서 [math]r[/math]은 지구 반지름이고 [math]h[/math]는 [math]h \ll r[/math]을 만족한다. 여기서 중력 퍼텐셜이 0이 되는 점을 지표면으로 조정하면
[math] \frac{GM}{r} h [/math]
가 가장 중요항 항이 되며 흔히 접하게 되는 지표에서 높이에 비례하는 중력 퍼텐셜을 얻는다. 한 가지 재밌는 것은 공기의 영향을 제외했을 때 지구 표면에서 가볍게 던진 물건은 포물선 운동을 한다고 하지만 사실은 타원 운동[7]을 하는 것이며 타원 운동의 일부분(지구 표면에 의한 제한으로 타원 운동의 끝 부분의 운동 밖에는 보지 못하므로)에 대한 근사로 포물선이 잘 들어맞는다고 봐도 된다.
- ↑ 위치를 포함한다. 고전역학적인 '상태'는 위치와 운동량.
- ↑ 중력에 의한 퍼텐셜 에너지는 그나마 위치 에너지라는 번역이 들어맞기는 하지만 다른 힘에 의한 퍼텐셜 에너지의 경우 말이 안맞는 경우도 많기 때문이다. 하지만 퍼텐셜이란 단어가 약간 어려우므로 초, 중학교에서는 그냥 기존대로 위치 에너지라고 사용 중인 듯 하다.
- ↑ x'가 측정대상인 상태, [math]x_0[/math]가 원점
- ↑ 정확히는 1제곱보다 크게 제곱이든 원천에서의 거리에 반비례하는 꼴의 인력
- ↑ 임의의 스칼라 함수에 대해 [math] \nabla \times \nabla \phi(x) = 0 [/math] 인 것을 유의. 정확한 유도는 헬름홀츠 정리를 사용해야 한다.
- ↑ 미분하면 상수는 0이 된다
- ↑ 어째서 타원인지는 케플러 궤도 참고