1 개요
피에르 드 페르마가 처음으로 연구한 수 형식.
음이 아닌 정수 n에 대해 [math]F_n = 2^{2^n}+1[/math] 형태로 나타나는 숫자다.
2 예시
[math]F_0 = 2^1+1 = 3[/math]
[math]F_1 = 2^2+1 = 5[/math]
[math]F_2 = 2^4+1 = 17[/math]
[math]F_3 = 2^8+1 = 257[/math]
[math]F_4 = 2^{16}+1 = 65537[/math]
...
1637년, 페르마는 위 형식으로 나오는 숫자들은 소수일 것이라 추측했다. 확실히 n=4까지는 소수가 맞다. 그런데 1732년 레온하르트 오일러라는 수학자가...
[math]F_5 = 2^{32}+1 = 4294967297 = 641\times6700417 [/math]
로 소인수분해 결과를 내놓으면서 반증되고 말았다.
21세기 들어, n=32 까지는 소수가 아닌 합성수라는 걸 밝혀냈지만, 그러나 완전하게 소인수 분해가 된 것은 2015년 기준으로 n=11 까지만이다.
그러나, 그 이후로 영영 소수가 없는 건지, 아니면 발견하지 못한 소수가 무수히 많이 있는지는 명확히 증명되지 않은 미해결 문제다. 꾸준히 거대한 소수가 발견되는 메르센 소수와는 달리, 저 5개의 수 외에는 더이상 페르마 소수가 존재하지 않을 것이라고 부정적인 예측을 하는 수학자가 증가하고 있다.
여담으로, 작도 가능성과 관련이 깊은 수다. 정n각형이 작도 가능하다는 것은 다음과 동치이다.
[math]n=2^mp_1p_2\cdots p_k[/math]
여기서 [math]p_1,p_2,\cdots,p_k[/math]가 바로 서로 다른 페르마 소수이다.
3 트리비아
F5 이후의 수 들이 모두 합성수로 판명되자, 페르마 소수가 더 있을거라는 믿음을 포기하고 5개 이외에는 더이상 소수가 없는게 아니냐고 생각하는 회의적인 수학자들이 늘고 있다. 그렇다고 하더라도 이는 큰 떡밥이기에 여전히 연구하는 수학자들도 많다. '페르마 소수가 더 많이 존재한다' 또는 '더이상 존재하지 않는다'는 수학적 증명을 해낸다면, 충분히 필즈상를 탈만한 업적에 해당된다. 소소하게는 미확인 페르마 수의 소인수를 찾아내어 합성수임을 밝혀 내거나, 소인수분해가 덜 된 수를 완전히 분해하는 것들도 충분한 연구 대상이기도 하다.