수학자 다비드 힐베르트가 제기한 역설. 힐베르트의 무한 호텔 역설(Hilbert's Paradox of the Grand Hotel)으로도 불린다. 무한대의 특성을 직관적으로 보여주는 예시이다. 힐베르트가 직접 출판하진 않았지만 1924년 1월 괴팅겐에서 강의를 통해 이 역설을 언급했다.[1] 이후 1948년 조지 가모프의 책 '1,2,3 그리고 무한'에 등장한 것을 계기로 수학이나 물리학을 소재로 한 글에서 무한의 성질을 나타내는 예시로 널리 쓰이게 되었다.
힐베르트는 객실이 무한한 호텔이 있으며 이 호텔의 모든 객실은 차있어서 빈 방이 없다고 가정했다. 일반적인 호텔이라면 객실이 가득 차있을 경우 새로운 손님이 왔을 때 빈 방을 마련하는 것이 불가능하다. 하지만 힐베르트의 호텔은 1번 방의 손님은 2번 방으로, 2번 방의 손님은 3번 방으로 옮기는 식으로 모든 투숙객이 옆 방으로 방을 옮기도록 하여 언제나 빈 방을 마련할 수 있다.
힐베르트의 호텔에 무한한 손님이 와서 무한한 빈방을 마련해야 할 때에도 1번 방의 손님을 2번 방으로, 2번 방의 손님을 4번 방으로 보내는 식으로 모든 투숙객에게 객실 번호의 두배가 되는 방으로 옮기도록 지시하면 무한한 빈 방을 마련할 수 있다.- ↑ Helge Kragh, The True (?) Story of Hilbert's Infinite Hotel