1 개요
곱셈 공식은 다항식을 전개할 때 자주 나오는 꼴, 즉 기본적인 꼴을 정리한 것이다. 이를테면 [math] \left(a+b\right)\left(a-b\right) [/math] 는 [math] \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 [/math] 와 같이 분배법칙을 써서 전개한 다음 교환법칙, 결합법칙 등을 써서 간단히 할 수 있다. 이때 전개한 결과 [math] \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 - b^2 [/math]은 자주 나오는 꼴이므로 공식처럼 기억하고 있으면 많은 도움이 된다. 이렇게 곱셈 공식을 익혀 두면 복잡한 전개 과정을 거치지 않고도 빠르고 정확하게 다항식의 곱셈을 할 수 있다.
반대로 전개한 것을 도로 묶는 것을 인수분해라고 한다. 곱셈 공식과 인수분해를 적절히 사용하면 곱셈이 한결 쉬워진다. 당장 64×56과 602 - 42 의 계산식이 그 예.
2 공식
다음은 대표적인 곱셈 공식이다.
- [math] \left(a+b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \left(a-b\right)^2 = a^2 - 2ab + b^2 [/math]
- [math] \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 - b^2 [/math]
- [math] \left(x+a\right)\left(x+b\right) = x^2 + \left(a+b\right)x + ab [/math]
- [math] \left(ax+b\right)\left(cx+d\right) = acx^2 + \left(ad+bc\right)x + bd [/math]
여기까지가 중학교 과정. 이 아래부터는 수학 I 에서배우게 된다.
- [math] \left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right) = x^3 + \left(a+b+c\right)x^2 + \left(ab+bc+ca\right)x + abc [/math]
- [math] \left(a+b+c\right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca [/math]
- [math] \left(a+b\right)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \left(a-b\right)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 [/math]
- [math] \left(a+b\right)\left(a^2 - ab + b^2\right) = a^3 + b^3, \left(a-b\right)\left(a^2 + ab + b^2\right) = a^3 - b^3 [/math]
- [math] \left(a+b+c\right)\left(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac\right) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc [/math]
- [math] \left(a^2 + ab + b^2\right)\left(a^2 - ab + b^2\right) = a^4 + a^2b^2 + b^4 [/math]