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곱셈 공식

1 개요

곱셈 공식은 다항식을 전개할 때 자주 나오는 꼴, 즉 기본적인 꼴을 정리한 것이다. 이를테면 (a+b)(ab)(a+b)(ab)=a2ab+bab2=a2b2 와 같이 분배법칙을 써서 전개한 다음 교환법칙, 결합법칙 등을 써서 간단히 할 수 있다. 이때 전개한 결과 (a+b)(ab)=a2b2은 자주 나오는 꼴이므로 공식처럼 기억하고 있으면 많은 도움이 된다. 이렇게 곱셈 공식을 익혀 두면 복잡한 전개 과정을 거치지 않고도 빠르고 정확하게 다항식의 곱셈을 할 수 있다.

반대로 전개한 것을 도로 묶는 것을 인수분해라고 한다. 곱셈 공식과 인수분해를 적절히 사용하면 곱셈이 한결 쉬워진다. 당장 64×56과 602 - 42 의 계산식이 그 예.

2 공식

다음은 대표적인 곱셈 공식이다.

  • (a+b)2=a2+2ab+b2,(ab)2=a22ab+b2
  • (a+b)(ab)=a2b2
  • (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
  • (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

여기까지가 중학교 과정. 이 아래부터는 수학 I 에서배우게 된다.

  • (x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc
  • (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
  • (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(ab)3=a33a2b+3ab2b3
  • (a+b)(a2ab+b2)=a3+b3,(ab)(a2+ab+b2)=a3b3
  • (a+b+c)(a2+b2+c2abbcac)=a3+b3+c33abc
  • (a2+ab+b2)(a2ab+b2)=a4+a2b2+b4