因數分解, factorizationAtomizer가 아니다.
1 개요
사람 손 분쇄하기
이름은 인수분해인데 조립하는거같다.
하다가 정신이 인수분해
여러 항들의 합과 곱이 어지럽게 뒤섞여 있는 다항식을 알아보기 쉽게 정리하는 것. 엄밀히는 합(=항)의 꼴로 전개되어 있는 다항식을 곱(인수)의 꼴로 고치는 것을 뜻한다. 인수분해를 하는 이유는 다항식을 알아보기 쉽도록 해서 이차 이상의 고차방정식의 해를 구하기 위해, 다항식이 분모 및 분자를 차지하고 있는 분수식을 유리식이나 더 간단한 분수식으로 약분하기 위해, 특수한 상황에서 문제를 풀기 쉽도록 고치기 위해 등 여러가지이다. 조립제법도 인수분해 기법 중 하나라 볼 수 있다.
2 기본적인 인수분해
1. [math]x^2\pm2xy+y^2=\left(x\pm y\right)^2[/math]
1. [math]x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)[/math]
1. [math]acx^2+\left(ad+bc\right)x+bd=\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)[/math]
1. [math]x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=\left(x+y+z\right)^2[/math]
1. [math]x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=\left(x+y\right)^3[/math]
1. [math]x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=\left(x-y\right)^3[/math]
1. [math]x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)[/math]
1. [math]x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)[/math]
1. [math]x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)[/math]
1. [math]x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)[/math]
1. [math]x^4+x^2y^2+y^4=\left(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2\right)[/math]
위처럼 여러 가지 인수분해 공식들이 있다. 간단한 것은 단순히 다항식의 전개식의 양변을 바꾸어 놓은 것처럼 보이지만, 어디서 갑툭튀했는지 모르는 것들도 가끔 있다. 따라서 하나씩 곱해가면 되는 전개와는 달리, 인수분해는 그때 그때 공식 및 유형을 외워서 문제풀이에 써먹는 것이 정신 건강에 이롭다. 하지만 암기만으로는 한계가 있으니 여러가지 테크닉[1]을 익혀놓는 것도 중요하다. 인수분해 공식을 증명하기 위해서는 인수분해된 식을 다시 전개해 보면 된다. 고등학교 수학을 배운 사람이라면 알 듯이 인수분해는 고등학교 수학 및 대수학 그 자체에 있어서 없어서는 안 될 존재로 이것을 배우지 않고 수학을 배운다는 것은 있을 수 없는 일이다. 물론 중고등학교 수학들이 다 그렇지만...
이름이 비슷한 것으로, 합성수를 소수의 곱으로 고치는 소인수분해가 있다. 인수분해와 방법은 다르지만, 수학적인 의미는 같다고 볼 수 있다. 실제로 인수분해의 대수학적 의의는 합성수를 소수의 곱으로 고치는 것처럼 다항식을 기약다항식의 곱으로 고치는 것이다. 배수와 약수, 인수분해의 성질이 수나 다항식에서나 똑같이 성립한다는 것은 꽤나 중요한 사실이고, 중등교육에서 암묵적으로 사용되지만 정확히 언급되지는 않는 내용. 실제로 산술의 기본정리와 대수학의 기본정리의 따름정리는 꽤나 닮아있다.
인수분해에 염증을 느끼지만 수학에 흥미를 느끼고 싶은 학생들에게 팁을 몇가지 주자면, 대수학의 기본정리에 따라서 모든 다항식은 복소수범위 내에서 인수분해를 할 수 있는데, 그래서 진짜로 복소수 범위에서 인수분해를 하면 상당히 흥미로운 결과가 나온다. 당장 저 인수분해 10번 식이 3차방정식의 근의 공식 유도에 중요한 역할을 하게 된다. [2]
또한 원기둥의 겉넓이를 더 쉬운 방법으로 구할 수 있게 되는데, [math]2\pi r^2+2\pi rh = 2\pi r (r+h)[/math]가 성립한다. 식에서 보듯 한 원기둥의 겉넓이가 해당 원기둥보다 반지름만큼 더 긴 원기둥의 옆면의 넓이와 같다는 결론이 나온다.
차수가 커질수록 삼각함수와 다항분포를 이용해서 급수전개를 하는 것이 편하다. 물론 역도 성립한다.
3 조립제법
이 문단은 조립제법(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.
영어로는 Synthetic Division이라고 하는 인수분해에 있어서 아주 유용한 방법. 정확하게는 다항식의 나눗셈에서 쓰이는 방법이지만 인수분해에서도 쓸 수 있다.
[math]n[/math]차 다항식 [math]F\left(x\right)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n[/math]를 일차식[math]\left(x-\alpha\right)[/math]로 나눈다 하자. 제수가 1차식이므로 몫은 [math]\left(n-1\right)[/math]차식, 나머지는 상수항이 된다 ([math]=R[/math]). 이를 식으로 나타내면, [math]a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=\left(x-\alpha\right)\left(b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+\cdots+b_{n-2}x+b_{n-1}\right)+R[/math]이 된다.
이 등식은 항등식이므로, 양변을 전개하여 계수를 비교하여 [math]b_i, \, \left(i=0,1,\cdots,n-1\right)[/math]에 관해 풀면, [math]b_0=a_0,b_1=a_1+b_0\alpha=a_1+a_0\alpha,\cdots,b_{n-1}=a_{n-1}+b_{n-2}\alpha=a_{n-1}+a_{n-2}\alpha+\cdots+a_0\alpha^{n-1},R=a_n+b_{n-1}\alpha=a_n+a_{n-1}\alpha+\cdots+a_0\alpha^n[/math]이 된다.
여기서 나머지 [math]R[/math]을 0으로 만들 수 있다면, 즉 다항식=0의 근을 알고있다면 처음 다항식은 두 인수의 곱으로 나타내어진다. 이후 몫에 관해 한번 더 조립제법을 쓰거나 다른 방법을 계속 써서 인수분해를 끝낼 수 있다. 조립제법을 그림으로 나타내면 아래와 같다.
파일:16Jh12F.png [3]
여기서 문제는 방정식의 근([math]=\alpha[/math])을 어떻게 찾냐는 것이다. 이에 관해 유용한 정리가 있는데, 정수 계수 다항식이 유리근[math]=p/q[/math] ([math]p,q[/math]는 서로소)을 가지면 [math]p=[/math]상수항의 약수, [math]q=[/math]최고차항의 약수이다[4]. Rational Root Theorem이라고 부르며, 한국에선 정확한 이름은 없으나 흔히 유리근정리라고 부른다. 증명은 나머지 정리를 사용하면 끝.
4 교대식, 대칭식
좀 더 딥 다크한 인수분해를 원하는 자들을 위한 기술중 하나. 알면 특수한 경우에 한해서 인수분해가 매우 쉬워진다. 여기선 편의상 문자가 3개인 경우를 다룬다. 문자의 수가 더 많을 경우에도 비슷한 방법으로 쓸 수는 있지만 너무 복잡해진다. 중학교와 고등학교 교육과정에는 없는 내용이다.
4.1 대칭식
[math]x,y,z[/math]에 관한 식 [math]f\left(x,y,z\right)[/math]에서 [math]x,y,z[/math]의 어느 두 문자를 교환해도 식이 똑같을 때, 식 [math]f\left(x,y,z\right)[/math]을 대칭식이라고 한다. 이 때, 대칭식은 이 [math]x+y+z, \, xy+yz+zx, \, xyz[/math] 3개의 기본 대칭식으로 표현이 가능하다[5].
문제는 이를 어떻게 활용하나는 건데, 아래 예시를 통해 확인하자.
[math]f\left(x,y,z\right)=x^3+y^3+z^3-3xyz[/math]는 대칭식임을 쉽게 확인 할 수 있다. 또한, [math]f[/math]가 3차식이므로 [math]f[/math]는 기본대칭식을 사용해 [math]a\left(x+y+z\right)^3+b\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)+cxyz[/math]로 표현 할 수 있다. 여기에 [math]x=2, y=-1, z=-1[/math]을 대입하여 계수를 비교하면 [math]c=0[/math]임을 알 수 있다. 마찬가지로 [math]x=0.y=0,z=1[/math]를 대입하면 [math]a=1[/math]이다. 마지막으로 적당한 세 수를 대입하면 [math]b=-3[/math]임을 알 수 있다. 즉, [math]x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)[/math]
[math]=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+zx\right)\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)[/math].
4.2 교대식
[math]x,y,z[/math]에 관한 식 [math]f\left(x,y,z\right)[/math]에서 [math]x,y,z[/math]의 임의의 두 문자를 교환해도 식의 부호만 바뀐다면, [math]f\left(x,y,z\right)[/math]를 교대식이라고 한다. 교대식은 [math]\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)[/math]를 항상 인수로 갖는다.
여기서 중요한건 임의의 두 문자라는 것. 즉, x와 y를 교환할 때, y와 z를 교환할 때, 그리고 z와 x를 교환할 때 모두 식의 부호가 바뀌어야 한다. 예시를 통해 활용법을 확인하자.
[math]f\left(x,y,z\right)=x^2\left(y-z\right)+y^2\left(z-x\right)+z^2\left(x-y\right)[/math]는 교대식임을 쉽게 확인 할 수 있다. 즉 [math]f[/math]는 [math]\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)[/math]를 인수로 갖는다. 또한, [math]f[/math]가 3차식이므로, 적당한 상수 [math]k[/math]에 대해 [math]f=k\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)[/math]이 성립한다. [math]x=1,y=-1,z=0[/math]을 대입하면 [math]k=-1[/math]임을 알 수 있다. 따라서, [math]f=x^2\left(y-z\right)+y^2\left(z-x\right)+z^2\left(x-y\right)=-\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)[/math]
4.3 혼합
교대식과 대칭식 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
1. 대칭식[math]\pm[/math]대칭식=대칭식
1. 교대식[math]\pm[/math]교대식=교대식
1. 교대식[math]\times[/math]대칭식=교대식
1. 교대식[math]\times[/math]교대식=대칭식
여기서 3번 성질은 교대식의 인수분해에 쓰인다. 즉, 원식이 교대식인데 차수가 3보다 많을 경우, 마지막 인수를 기본대칭식으로 표현을 할 수 있다는 것이다. 예시를 통해 확인하자.
[math]f\left(a,b,c\right)=ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)[/math]은 교대식임을 쉽게 알 수 있다. 즉 [math]f[/math]는 [math]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)[/math]를 인수로 가진다. 여기서 [math]f[/math]는 4차식이므로, 1차식의 대칭식을 따로 인수로 가져야 한다. 1차 기본대칭식은 [math]a+b+c[/math]밖에 없으므로, 적당한 상수 [math]k[/math]에 대해 [math]f\left(a,b,c\right)=k\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)[/math]가 성립한다. [math]a=1,b=2,c=3[/math]를 대입하여 비교하면 [math]k=-1[/math]이고, 곧 [math]f\left(a,b,c\right)=ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)=-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)[/math].
5 여담
3cf의 보노보노 만화에서 정석교에 들어갔던 보노보노가 집에 가려고 하자, 스크림 살인마 복장의 캐릭터로 표사된 홍성대가 "집에 가는 놈은 이단자다! 저 놈을 인수분해해라!"라고 외치는 장면이 나온다. 보노보노는 곧바로 반으로 갈려 분해되어 버린다.[6] 이후 이 바닥에서 뼈와 살, 장기를 분리하는 잔인한 살해방법을 인수분해라고 부르게 되었다. 식을 원래 구성요소대로 분리하듯 몸을 조각조각 분해해서인 듯. 이 경우 한자로 풀면 人壽分害(...) 사람인, 목숨수, 나눌분, 해칠해로 쓴다. 머리수라고 써도 틀린 건 아니다 여기서 파생되어 무언가를 개발살내는 것도 포함한다. 대충 이런 식으로. 노동 8호의 작품.
신세계(영화)에 등장하는 골드문 그룹 장수기 부회장(최일화)은 작중 시점에서 일찌감치 인수분해당해 있는 상태, 즉 조직 내에서 자기 세력과 영향력을 모두 잃은 상태에 있다고 최민식과 주진모(1958)등의 대화에서 언급된다.
어느 현자께서는 슬픔을 달래지 않고 인수분해시키신댄다(...)
카라의 강지영은 할 줄 모른다 카더라
스카웃(팀 포트리스 2)의 야구방망이의 이름이기도 하다.