분배법칙

分配法則, Distributivity

1 개요

수학에서 쓰는 용어 중 하나.

집합 S와 S에 대해 닫혀있는 이항 연산 *가 정의되어 있을 때, S의 임의의 원소 a, b, c에 대해
a * (b + c) = (a * b) + (a * c)가 성립하면 좌분배법칙이,
(b + c) * a = (b * a) + (c * a)가 성립하면 우분배법칙이 성립한다고 하며
양쪽모두 성립할 경우 집합 S에서 연산 *에 대해 분배법칙이 성립한다고 한다.

반례가 하나라도 나온다면 분배법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.
착각하면 안되는 것이, 분배법칙은 교환법칙과 무관하다, 일반적인 교환법칙이 성립하지 않는 경우야 당연하지만, 심지어 a * (b + c) ≠ (b + c) * a더라도 여전히 성립가능하다.
대표적인 예시가 행렬과 사원수로, 2009년 개정 교육과정 그러니까 아직 행렬이 고교수학에 남아 있던 시절의 학생이라면 교과서에서 대놓고 행렬에서 분배법칙이 성립한다고 쓰여있는 것을 보았을 것이다.

2 다항식의 분배법칙

연산자 앞뒤로 항이 2개씩 이상 있을 경우, 다음을 따른다.
(a + b) * (c + d) = (a * c) + (a * d) + (b * c) + (b * d)

만약 교환법칙도 성립한다면 다음의 법칙도 성립함을 알 수 있다. 자세한 사항은 인수분해 참조.

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²

3 분배법칙이 일반적으로 성립하는 연산

특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.

× (곱셈)
· (내적: 벡터 범위)

(합성곱: 라플라스 변환 관련 연산)

× (외적: 벡터 범위)
× (곱셈: 곱셈이 정의된 행렬 범위)
× (곱셈: 사원수 범위)

4 분배법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산