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교환자

Commutator

1 개요

수학에서 사용되는 연산 기호 중 하나이다. 아래에서 보듯 그 반대되는 개념으로 반교환자(anticommutator)가 있다.

2 정의

교환자 연산은 [A,B]=ABBA 로 정의한다.
반교환자 연산은 {A,B}=AB+BA 로 정의한다.

경우에 따라 교환자와 반교환자를 각각 [  ]+[  ] 로 표현하기도 한다. (주로 둘을 한번에 [  ]± 처럼 표기하는 귀차니즘편의를 위해서이다.)

잘 보면 알겠지만, 교환법칙이 성립되는 집합의 원소끼리 교환자를 계산하면 당연히 0이 나온다. 그렇다면 대체 이것을 어디에 써먹을 수 있을까? 잘 찾아보면 교환법칙이 성립하지 않는 많은 수학적인 대상, 또는 물리적인 연산자들이 있다. 그 중 가장 잘 알려지고 직관적으로 명백한 예는 행렬이다.[1]

3 성질

  • [A,A]=0
  • [A,B]=[B,A]
  • [A+B,C]=[A,C]+[B,C]
  • [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B
  • [A,BC]={A,B}CB{A,C}
  • eABeA=B+[A,B]+12![A,[A,B]]+13![[A,[A,B]]]+

맨 아래 식은 Baker–Campbell–Hausdorff 공식의 일종이다.

4 양자역학에서의 사용

물리학에서는 양자역학을 공식화해서 배우다 보면 무수한 연산자들을 쓰게 되고, 그것들 간의 교환자나 역교환자를 계산할 일이 많다. (물리의 연산자들은 일반 변수나 함수와 구별하기 위해 보통 ˆA 와 같이 기호 위에 모자를 씌워 표현한다.) 애초에 양자역학 자체가 [ˆx,ˆp]=i 로부터 출발하며, 양자역학의 한 공식화 방법인 하이젠베르크 운동방정식에선, 어떤 임의의 연산자 ˆA 의 시간에 따른 진화를 교환자를 이용해 다음과 같이 계산한다.

dˆAdt=1i [ˆA,ˆH]

양자장론에서는 서로 공액 관계에 있는 장들을 교환자 혹은 역교환자를 이용해 양자화시키는 이차양자화 통해 양자역학적인 다체문제를 기술하는 완전히 새로운 물리를 만들어 낸다. 헬게이트 오픈 교환자를 사용하면 보존을, 역교환자를 사용하면 페르미온을 만들어낼 수 있다.
  1. 이동 사실 힐베르트 공간에 작용하는 물리적인 연산자들은 전부 행렬에 대응시킬 수 있다.