Commutator
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[숨기기]1 개요
수학에서 사용되는 연산 기호 중 하나이다. 아래에서 보듯 그 반대되는 개념으로 반교환자(anticommutator)가 있다.
2 정의
교환자 연산은 [A,B]=AB−BA 로 정의한다.
반교환자 연산은 {A,B}=AB+BA 로 정의한다.
경우에 따라 교환자와 반교환자를 각각 [ ]+ 와 [ ]− 로 표현하기도 한다. (주로 둘을 한번에 [ ]± 처럼 표기하는 귀차니즘편의를 위해서이다.)
잘 보면 알겠지만, 교환법칙이 성립되는 집합의 원소끼리 교환자를 계산하면 당연히 0이 나온다. 그렇다면 대체 이것을 어디에 써먹을 수 있을까? 잘 찾아보면 교환법칙이 성립하지 않는 많은 수학적인 대상, 또는 물리적인 연산자들이 있다. 그 중 가장 잘 알려지고 직관적으로 명백한 예는 행렬이다.[1]
3 성질
- [A,A]=0
- [A,B]=−[B,A]
- [A+B,C]=[A,C]+[B,C]
- [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B
- [A,BC]={A,B}C−B{A,C}
- eABe−A=B+[A,B]+12![A,[A,B]]+13![[A,[A,B]]]+…
맨 아래 식은 Baker–Campbell–Hausdorff 공식의 일종이다.
4 양자역학에서의 사용
물리학에서는 양자역학을 공식화해서 배우다 보면 무수한 연산자들을 쓰게 되고, 그것들 간의 교환자나 역교환자를 계산할 일이 많다. (물리의 연산자들은 일반 변수나 함수와 구별하기 위해 보통 ˆA 와 같이 기호 위에 모자를 씌워 표현한다.) 애초에 양자역학 자체가 [ˆx,ˆp]=iℏ 로부터 출발하며, 양자역학의 한 공식화 방법인 하이젠베르크 운동방정식에선, 어떤 임의의 연산자 ˆA 의 시간에 따른 진화를 교환자를 이용해 다음과 같이 계산한다.
dˆAdt=1iℏ [ˆA,ˆH]
양자장론에서는 서로 공액 관계에 있는 장들을 교환자 혹은 역교환자를 이용해 양자화시키는 이차양자화 통해 양자역학적인 다체문제를 기술하는 완전히 새로운 물리를 만들어 낸다.- 이동 ↑ 사실 힐베르트 공간에 작용하는 물리적인 연산자들은 전부 행렬에 대응시킬 수 있다.