교환자

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Commutator

1 개요

수학에서 사용되는 연산 기호 중 하나이다. 아래에서 보듯 그 반대되는 개념으로 반교환자(anticommutator)가 있다.

2 정의

교환자 연산은 $$\left[ A, B \right] = AB - BA$$ 로 정의한다.
반교환자 연산은 $$\left\{ A, B \right\} = AB + BA$$ 로 정의한다.

경우에 따라 교환자와 반교환자를 각각 $$\left[ \ \ \right]_+$$ 와 $$\left[ \ \ \right]_-$$ 로 표현하기도 한다. (주로 둘을 한번에 $$\left[ \ \ \right]_\pm$$ 처럼 표기하는 귀차니즘편의를 위해서이다.)

잘 보면 알겠지만, 교환법칙이 성립되는 집합의 원소끼리 교환자를 계산하면 당연히 0이 나온다. 그렇다면 대체 이것을 어디에 써먹을 수 있을까? 잘 찾아보면 교환법칙이 성립하지 않는 많은 수학적인 대상, 또는 물리적인 연산자들이 있다. 그 중 가장 잘 알려지고 직관적으로 명백한 예는 행렬이다.

3 성질

• $$\left[ A, A \right] = 0$$
• $$\left[ A , B \right] = - \left[ B, A \right]$$
• $$\left[ A + B, C \right] = \left[ A , C \right] + \left[ B, C \right]$$
• $$\left[ AB, C \right] = A[B, C] + [A, C]B$$
• $$\left[ A, BC \right] = \{A,B\}C - B\{A, C\}$$
• $$\displaystyle e^A B e^{-A} = B + [A, B] + {1 \over 2!} \left[A,[A, B] \right] + {1 \over 3!} \left[ \left[A,[A, B] \right] \right] + \ldots$$

맨 아래 식은 Baker–Campbell–Hausdorff 공식의 일종이다.

4 양자역학에서의 사용

물리학에서는 양자역학을 공식화해서 배우다 보면 무수한 연산자들을 쓰게 되고, 그것들 간의 교환자나 역교환자를 계산할 일이 많다. (물리의 연산자들은 일반 변수나 함수와 구별하기 위해 보통 $$\hat{A}$$ 와 같이 기호 위에 모자를 씌워 표현한다.) 애초에 양자역학 자체가 $$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$$ 로부터 출발하며, 양자역학의 한 공식화 방법인 하이젠베르크 운동방정식에선, 어떤 임의의 연산자 $$\hat{A}$$ 의 시간에 따른 진화를 교환자를 이용해 다음과 같이 계산한다.

$$\displaystyle {d \hat{A} \over dt} = {1 \over i\hbar} \ \left[ \hat{A}, \hat{H} \right]$$

양자장론에서는 서로 공액 관계에 있는 장들을 교환자 혹은 역교환자를 이용해 양자화시키는 이차양자화 통해 양자역학적인 다체문제를 기술하는 완전히 새로운 물리를 만들어 낸다. 헬게이트 오픈 교환자를 사용하면 보존을, 역교환자를 사용하면 페르미온을 만들어낼 수 있다.