연산자(물리학)

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1 개요

물리학에서(특히 양자역학에서), 연산자란 다음과 같은 고윳값 문제(eigenvalue problems) [math]\hat{A}\left|\psi\right\gt=a\left|\psi\right\gt[/math]에서 [math]\hat{A}[/math]에 해당하는 무언가이다. 이때 고유 함수(eigenfunction) [math]\psi[/math]는 (주로)파동함수를 나타내며 [math]a[/math]는 고윳값(eigenvalue)으로 그 연산자를 취했을 때 튀어나오는 것이다.

일반적으로 관측 가능한 물리량의 연산자는 자가 수반(self-adjiont) 혹은 Hermitian 연산자이므로 실수 고윳값을 가져야 한다.

2 성질

2.1 교환자

Commutator. 연산자의 교환자라고 하는 것은 이렇게 정의된다.

• [math]\left[\hat{A},\hat{B}\right] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}[/math]

일반적인 두 연산자[math]hat{A}[/math]와 [math]hat{B}[/math]에 대해 위의 값은 0이 아닌데, 이는 연산자는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않기 때문이다. 특별히 저 교환자가 0이 될 때를 가리켜 '두 연산자가 교환(commute)한다'라고 한다.

교환자에 대한 보다 더 자세한 성질들은 문서 참조.

2.2 평균값과 시간 미분

우선 어떤 연산자의 평균값은 다음과 같이 정의된다.

• [math]\left\lt\hat{A}\right\gt=\left\lt\psi\right|\hat{A}\left|\psi\right\gt=\int\psi^{*}\left(x,t\right)\hat{A}\psi\left(x,t\right)dx[/math]

양변을 각각 시간에 대해 미분하면 다음과 같은 결과가 나오는데, (H는 후술하겠지만 해밀토니안 연산자이다.)

• [math]\frac{d}{dt}\left\lt\hat{A}\right\gt=\left\lt\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right\gt+\frac{i}{\hbar}\left\lt\left[\hat{H},\hat{A}\right]\right\gt[/math]

연산자가 시간에 의존하지 않는다면, 가운데 항은 무시할 수 있게된다. 그렇게 되면 다음과 같은 식이 나온다.

• [math]\frac{d}{dt}\left\lt\hat{A}\right\gt=\frac{i}{\hbar}\left\lt\left[\hat{H},\hat{A}\right]\right\gt[/math]

즉, 만일 어떤 연산자가 해밀토니안과 교환한다면, 그 연산자에 대한 관측값은 항상 시간에 대해 일정하다고 말할 수 있다.

3 예시

3.1 위치

• [math]\hat{x} = x [/math]

고전역학에서와 똑같이 그냥 [math] x [/math]이다.

3.2 운동량

양자역학에서 운동량은 고전역학과 좀 다른 모양으로 나타내어진다.

• [math]\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} [/math]

3차원으로 확장시키면 다음과 같다.

• [math]\hat{p} = -i\hbar \nabla[/math]

3.3 해밀토니안

해밀토니안 연산자는 운동량 연산자와 퍼텐셜 에너지의 합으로 나타내어진다.

• [math]\hat{H} = \frac{\hat{p}^{2}}{2m}+V\left(x\right) = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\left(x\right)[/math]

해밀토니안에 대한 고윳값 문제를 식으로 쓰면,

[math] \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(x) \right]\psi(x) = E \psi(x)[/math]

익숙한 식이 나온다. 이 해밀토니안의 고윳값 [math]E[/math]는 에너지가 된다.

3.4 사다리 연산자

이 사다리 연산자부터 뭔가 모호해진다. 이 사다리 연산자는 어떤 관측 가능한 물리량을 주지 않으며(즉 Hermitian이 아니며), 단지 어떤 상태의 고유 에너지 등을 특정값만큼 올리고 내리게 해주는 매우 편리한 연산자이다.

3.5 각운동량

3차원 계를 다루게 되면서부터 각운동량을 빼놓을 수가 없는데, 당연히 지금까지 봐온 1차원에서의 연산자보다 훨씬 복잡하고 다양한 성질들을 가지고 있다.

4 행렬역학

하이젠베르크가 고안한 양자역학을 기술하는 방법. 위에서 연산자를 어떤 수식으로 나타냈다면, 이제는 연산자를 하나의 행렬로 나타낼 수 있으며, 파동함수는 벡터로 나타난다. 이 방법은 수학적으로 미분방정식을 풀 때 고유함수-고유치 문제를 고유벡터-고유치 문제로 바꾸어 푸는 것과 완전히 동일한 방법으로, 파동역학적 방법과 수학적으로 동등함이 증명되어있다.