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1 개요
Equivalence Principle.
중력과 관성력은 같다.
중력에 대한 새로운 관점을 제공하는 원리. 아인슈타인이 사고실험을 통해 도출해내었다. 고전적인 물리학에서 중력은 질량을 가진 물체끼리 서로 인력이 작용한다고 설명한다. 하지만 등가원리는 이 힘에 대한 개념 대신 기하학의 시선으로 바꾼 것이다.
'충분히 짧은 시간동안의 충분히 좁은 공간에서 회전하지 않는 자유낙하계와 관성계의 물리법칙은 동일하다'라고 정의하기도 한다. 좁은 영역에서라는 말이 필요한 이유는 크기를 가진 시공간의 영역에선 조석력이 작용하기 때문에 자유낙하계와 관성계가 같아질 수는 없기 때문이다.
2 상세
- 같이 보기: 자유낙하의 법칙
같은 중력장 내에 있을 때, 중력의 크기(즉 무게)는 해당 물체의 질량에 비례한다. 이 때문에 중력으로 인한 가속도는 질량에 관계없이 동일하다. 또한 중력가속도가 곧 중력장의 세기가 된다. 이 현상은 현실에서 많이 관찰할 수 있다. 고전물리학과 등가원리는 이를 해석하는 방향에서 차이가 난다.
가속하는 관찰자는 관찰하는 계에서 관성력을 가상으로 관측하게 된다. 관성력은 관찰자(즉 좌표) 자신이 가속하기 때문에 물체와 자신의 상대가속도는 반대로 나타나면서 느껴진다. 중력도 이러한 관성력과 같은 범주로 취급할 수 있다는 것이 등가원리의 핵심이다. 즉, 기존 관성력이 가속도가 붙는 물체에만 적용될 수 있다고 생각되는 것과는 달리, 가만히 땅 위에 서 있는 물체가 받는 중력도 관성력의 범주로 볼 수 있다는 게 포인트.
"허공에서 자유낙하를 하는 스카이다이버는 자신의 몸무게를 느낄 수 있을까?" 이 질문에 대한 등가원리의 답은 '몸무게를 느끼지 않는다'이다. 물론 여기서 공기저항은 배제하고 이야기하는 것이다. 한편 지표면에 정지해 있는 상황은 무중력 공간에서 가속도를 일으키면 재현할 수 있다. 우주정거장과 같은 곳에서 중력을 만들기 위해서는 일정한 각속도로 우주정거장이 회전을 하면 된다. 그러면 정거장 내부의 사람들은 중력과 같은 원심력을 느끼게 된다.
고전물리학에서는 이런 현상들이 (중력)∝(질량)의 관계로 인해 일어나는 우연이라고 할 수 있다. 하지만 아인슈타인은 중력과 관성력이 근본적으로 차이가 없다, 본질 자체가 같다는 혁명적인 결론을 이끌어낸다.
3 빛은 휘어진다
옛날에는 빛이 파동이라고 생각하였기에 빛이 중력의 영향을 받는다고 생각하지 않았다. 설령 입자라고 믿는다 해도 질량이 없는 한 주체로 여겨지고, 중력으로부터 자유롭다는 관념이 있었을 것이다. 그러나 등가원리는 빛 역시 중력의 영향을 받는다고 말한다.
다시 말해 중력과 중력가속도 중 더 근본이 되는 건 중력가속도임을 뜻한다.
파일:등가원리.png
위 그림은 가속하는 엘리베이터에 빛이 수평으로 들어가는 모습을 나타낸 것이다. 관성좌표계에서는 빛은 직선으로 나아가고 엘리베이터가 위로 올라간다. (연한 노란색 선은 수평을 강조하기 위해 나타낸 것이며, 주황색 화살표가 빛을 나타낸다.) 엘리베이터 중간에 세로로 칸막이 표시가 있다. 벽과 이 칸막이를 통과하는 지점을 네모로 체크하면 네모 표시의 배치는 위로 볼록한 포물선 모양으로 나타난다.
그렇다면 이 상황을 엘리베이터 안(비관성 좌표계)에서 보면? 분명 빛은 네모 표시를 모두 통과했다. 엘리베이터 안의 관찰자가 볼 때에도 마찬가지로 지나가야 한다. 만약 빛이 수평으로 나아가거나, 직진을 한다면 어떤 방법으로도 모든 지점을 다 지날 수 없다. 결국 빛은 휘어진다는 결론을 얻게 된다. 빛(혹은 광자)에 어떤 힘을 준 것도 아닌데, 순수한 기하학적 효과로 휘어지는 빛을 관측하는 것이다!
4 중력장과 시간 지연
중력장이 있는 공간에서는 위치에 따라 시간이 다르게 흐른다. 이는 중력을 가속하는 엘리베이터로 상황을 옮김으로써 알아낼 수 있다.[1]
파일:등가원리와 시간 지연.png
위 그림은 A에서 빛 신호를 보내고 B에서 받는 상황을 묘사한 것이다. 왼쪽 그림은 가속도 [math]g[/math]로 위([math]+z[/math]방향)로 가속하는 엘리베이터를 나타내었다. 오른쪽 그림은 중력가속도가 아래([math]-z[/math]방향)로 [math]g[/math]이며 A와 B가 정지해 있는 장면이다. 위의 등가원리에 따르면 두 상황은 동일하다. 정확히 말하자면 A에서의 물리법칙과 B에서의 물리법칙은 두 그림에서 각각 같다.
만약 오른쪽 그림에서 A에서 간격[math]\Delta t_A[/math]로 빛 신호를 보내고 B에서 간격 [math]\Delta t_B[/math]로 받는다고 하면, 이는 왼쪽 그림에서도 마찬가지 시간간격이 나와야 한다. 여기서도 광속 불변의 원리는 여전히 성립한다. 따라서 A에서 보낸 두 빛 신호는 왼쪽 그림에서 평행하게 나아가야 한다.
여기서 오른쪽 그림은 위치마다 시간이 흐르는 빠르기가 다르다. 그래서 오른쪽 그림에서 [math]t[/math]축과 A, B의 각 고유시간은 같은 [math]t[/math]좌표에서 다르게 표시된다. 시간축과 빛의 진행을 제대로 알아보기 위해서는 왼쪽 그림과 같이 관성좌표계에서 그릴 필요가 있다. 또한 여기서는 충분히 약한 중력장, 즉 [math]gH\ll c^2, g\Delta t \ll c[/math]라 잡고 A와 B가 고전적인 궤적 [math]z={1\over 2}gt^2+h[/math]꼴로 움직이며, 시간 지연이나 길이 수축의 영향은 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정한다.
우선 첫 번째 빛 신호가 (바깥의 시간 기준)[math]t_1[/math]만큼 걸려서 B에 도달했다고 하면, 두 번째 빛 신호는 [math]t_1 + \Delta t_B - \Delta t_A[/math]만큼 소요된다.
- 첫 신호: [math]z_A(0)-z_B(t_1)=H-{1 \over 2}gt_1^2=ct_1[/math]
- 두 번째 신호: [math]z_A(\Delta t_A)-z_B(t_1+\Delta t_B)=\left(H+{1 \over 2}g(\Delta t_A)^2 \right)-{1 \over 2}g \left(t_1+\Delta t_B \right)^2=c(t_1 + \Delta t_B - \Delta t_A)[/math]
여기서 관심의 대상은 A와 B에서 관측하는 두 시간간격이므로 [math]t_1[/math] 변수를 소거한다. 두 식을 적절히 조합하면 아래 결과가 나온다.
[math]({1\over 2}g\Delta t_A + c)\Delta t_A = ({1\over 2}g\Delta t_B + \sqrt{c^2+2gH})\Delta t_B[/math]
또한 위에서 가정한 근사를 이용하면 아래 결과를 유추할 수 있다. 이는 처음에 알아보고자 했던 (충분히 약한)중력장에서도 거의 맞아떨어진다.
[math]\displaystyle \Delta t_A = \left(1+ \frac{gH}{c^2} \right)\Delta t_B,\ gH \ll c^2[/math]
혹은 두 번째와 같이 단위질량 당 중력 퍼텐셜 에너지를 이용해 나타내기도 한다. 중력가속도가 위치별로 달라져도 약한 중력장[2]에서 잘 들어맞는 식이다. 시간이 빨리 흐르는 쪽은 A이다.
[math]\displaystyle \Delta t_A = \exp\left(\frac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2} \right)\Delta t_B, \Phi_A-\Phi_B \ll c^2[/math]
위 계산으로부터 알 수 있는 사실은 중력은 시간의 흐름이 빠른 쪽에서 느린 쪽으로 향한다는 것이다.[3] 정확한 값은 도출 과정이 복잡하지만 중력의 이 특성은 엄연히 성립한다.
사실 위 상황은 물체나 관측자가 움직이지 않을 때를 나타낸 것으로, 순수하게 중력장 효과만을 고려한 것이다. 시간 지연은 이 중력장의 효과와 움직이는 물체의 특수상대론에 의한 효과가 중첩되어 나타난다.- ↑ James B. Hartle, 《Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity》, Pearson New International Edition, pp.115-117
- ↑ 블랙홀, 중성자별, 백색왜성 등 밀도가 높은 천체가 아닌 이상 적용할 수 있다. 태양계 내에서도 쓸 수 있다.
- ↑ 흔히 중력이 셀 수록 시간이 느리게 흐른다고 알고 있다. 보통 중력이 센 곳이 약한 곳보다 퍼텐셜 에너지가 낮아서 어느정도 맞는 이야기지만, 정확하지 않은 표현이다. 만일 지구 중심으로 파고 들어가는 게 가능하다면, 중심에서는 지표면보다 중력이 약하지만 낮은 지대이므로 시간은 지표면보다 더 느리게 흐른다.