시간 지연

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1 개요

Time dilation.
상대성 이론으로 설명되는 기이한 현상 중 하나. 이론뿐 아니라 인공위성과 지상에 각각 시계를 둔 상태에서 행한 실험을 통해 실제로 확인된 현상이다.
길이 수축이 고전 역학에서의 절대 공간의 개념을 사장시킨 현상이라면 시간 지연은 수천 년간 이어져 내려오던 절대적인 시간의 개념을 와장창 깨부순 현상이다.
두 줄로 간단히 요약할 수 있다.

특수 상대성 이론: "매우 빨리 달리는 물체의 시간은 느리게 간다."

일반 상대성 이론: "천체의 중력장은 시간의 흐름을 늦춘다."

다만 느려진다고는 해도, 등속운동만으로 시간을 반으로 늦추려면 광속의 86.7%로 달려야 한다. 즉 259,627,884 m/s 이므로 1초에 26만km 가량을 가는 속도.(...) 중력장 및 가속운동에 의한 시간지연은 더 클 수 있으나, 태양 정도 질량 및 이와 동등한 가속으론 어림도 없다.(그나마도 이 수준이 지구 공전속도(30km/s)로 인한 영향보다 두 배 큰거다) 즉, 인간이 시간지연을 체감할 수 있으려면 빛과 비견될 정도로 엄청 빠르거나, 블랙홀급 스케일의 중력장이나 이와 대등한 중력 퍼텐셜 차를 일으켜야 한다.

이 현상으로 인해 발생하는 것이 우라시마 효과.

2 움직이는 물체의 시간 지연

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• 같이 보기:길이 수축

로런츠 변환식으부터 길이 수축이라든가 시간 지연 같은 걸 나타내는 식을 이끌어낼 수 있다. 그 중 한 예가 바로 시간 지연을 나타내는 이것.아니 저기에 [math]c[/math]가 왜 붙어있어??

[math]\displaystyle \Delta t' = \gamma \Delta t = \Delta t \left(\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}\right)^{-1}[/math]

여기서 [math]\Delta t'[/math]은 운동하는 관측자(열차 안)의 시간간격, [math]\Delta t[/math]는 정지한 관측자(열차 밖)의 시간간격을 나타내며, [math]\gamma[/math]는 로런츠 인자(Lorentz factor)로 상대론에서 빈번히 등장하는 값이다. 이 식은 운동하는 물체는 열차 밖의 좌표를 기준으로 시간이 느리게 가는 것으로 관측이 된다는 뜻이다.

우리가 경험하는 일상적인 세계에서는 속도의 제곱이 광속의 제곱에 비해 매우 작으므로 [math]\gamma[/math] 값이 1에 매우 가까운 숫자가 되고, 따라서 [math]\Delta t'[/math]과 [math]\Delta t[/math]도 아주 거의 비슷한 값이 된다. 물론 1에 매우 가까울 뿐 1은 아니기 때문에 [math]\Delta t'[/math]과 [math]\Delta t[/math]가 완전히 같은 값이 될 수는 없다.

사실 등속도 운동이 아니더라도 속력이 일정한 물체에도 위 식을 적용할 수 있다. 아래 그림과 같이 멈춰있는 파란색 시계는 움직이는 빨간색 시계보다 빨리 흐르며, 그 비율은 [math]\gamma[/math]와 같다.

2.1 광속 불변의 원리를 이용한 설명

이 식은 광속의 불변을 공리로 깔고 사고 실험으로 광자시계라는 것을 생각해보면 도출 할 수 있다. 광자시계는 거리를 두고 마주 보는 반사율 100% 인 거울 사이를 광자 하나가 오가는 것을 생각하면 된다. 마주 보는 거울이 배치 된 열차를 생각하면 된다. 이것이 시계인 이유는 광속이 일정하기 때문이다. 광자가 거울 사이를 왕복하는 횟수가 곧 흐른 시간과 비례하기 때문에 광자 왕복횟수로 시간을 잴 수 있다.

이 상황을 시계가 정지한 좌표계에서 관찰하면(열차 안) 아래의 왼쪽 그림과 같이 되고 시계가 빛과 수직으로 움직이는 것으로 보이는 좌표계에서 보면(열차 밖) 아래의 오른쪽 그림과 같이 된다. 오른쪽 그림은 빛이 거울 사이를 왕복하는 동안 거울이 움직여 밖에서 보기에는 빛이 지그재그로 진행하는 것으로 보인다는 것을 표현한 것이다.

이제 광속불변과 피타고라스의 정리만 사용하면 식이 유도된다.이제 그림보고 알아서 이해하자. 거울간의 거리를 [math]H[/math]라 할 때 열차 내에서 광자가 왕복하는 시간 [math]\Delta t[/math]를 측정하면 (분당선황금색 표시) [math]2H \over c[/math]가 된다. 그런데 열차 밖에서 측정한 왕복 시간 [math]\Delta t'[/math]은 (3호선주황색 표시) [math]2R \over c[/math]로 써진다.

한편 열차가 움직이는 속력을 [math]v[/math]라 할 때 열차 밖의 시간과 열차의 속력을 곱하면 [math]2L=v\Delta t'[/math]이 성립한다. 또한 [math]2H= c\Delta t[/math], [math]2R= c\Delta t'[/math]이므로 직각삼각형의 관계식 [math]2R=2\sqrt{L^2+H^2}=\sqrt{(2L)^2+(2H)^2}[/math]에 세 문자를 각각 대입하면..
[math]c\Delta t' = \sqrt{(v\Delta t')^2 + (c\Delta t)^2}[/math]
이 식을 [math]\Delta t'[/math]에 대해서 풀면 처음 제시한 식과 같이 나온다.
[math]\displaystyle \Delta t' = \Delta t \left(\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}\right)^{-1}[/math]

2.2 로런츠 변환을 이용한 설명

로런츠 변환을 이용해서 좀 간단하게 구할 수도 있다. 두 사건 P, Q가 어떤 관성좌표계 O에서 같은 공간 위치에서 일어난다고 하면 O에서 잰 시간이 곧 두 사건 P, Q 사이의 고유 시간이다. 한편 다른 관성 좌표계 O'이 O에 대해 [math]x[/math] 방향으로 속도 [math]v=\beta c[/math]로 움직인다면 O와 O' 사이의 [math]t, x[/math] 관계식이 아래와 같이 써진다. [math]y, z[/math]는 항상 좌푯값이 같으므로 생략.
[math]ct'=\gamma(ct-\beta x),\ x' = \gamma(x-\beta ct), \gamma = (1-\beta^2)^{-{1\over 2}}[/math]
여기서 사건 P, Q의 [math]x[/math]좌표가 0으로 동일하다고 가정하면 [math]x_Q-x_P=0[/math]이므로 구하고자 하는 관계식이 도출된다.
[math]c(t'_Q-t'_P)=\gamma(c(t_Q-t_P)-\beta (x_Q-x_P)) \rightarrow \Delta t' = \gamma \Delta t,\ \gamma =\left(1 - {v^2 \over c^2}\right)^{-{1 \over 2}}[/math]

3 중력장에 의한 시간 지연

• 같이 보기: 등가원리

등가원리 문서의 마지막 단락에서 이끌어낸 결과를 가져오자면 [math]\Delta \Phi \ll c^2[/math]를 만족하는 충분히 약한 중력장에서 두 지점 A, B에서 흐른 시간의 비는 아래와 같이 주어진다. 이는 등가원리를 응용하여 도출할 수 있다.
[math]\displaystyle \frac{\Delta t_A}{\Delta t_B} \approx 1+\frac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2} \approx \exp\left(\frac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2}\right) [/math]

3.1 예시: 태양계

이를 태양계에 적용해 보면 아래와 같이 나타난다.
파일:태양계 시계.png
위 그림은 지표면 위에 있는 시계, 지구 중력장의 영향을 배제한 시계 등 여러 가지 원자시계를 나타낸 것이다. 시각 표기 약자 명칭은 시간 체계 문서 참고.
지구시(TT, 혹은 역표시(ET))와 국제원자시(TAI)는 지표면을 기준으로 한다. 여기서 지구 중력장에 의한 시간 지연을 뺀 지심좌표시(TCG)와 비교하자면 지구 중력장이 만든 퍼텐셜차가 시간의 흐름 비를 결정한다. 즉 수식으로 나타내면 아래와 같다.
[math]\displaystyle \Phi_{\text{TCG}}-\Phi_{\text{TT}}=\frac{GM_{\text{Earth}} }{R_{\text{Earth}} }[/math](만유인력장의 단위질량 당 퍼텐셜 에너지에 해당된다.)

[math]\displaystyle \frac{\Delta t_{\text{TCG}} }{\Delta t_{\text{TT}} }=1+\frac{GM_{\text{Earth}} }{c^2 R_{\text{Earth}} } \approx 1+7\times 10^{-10}[/math]

이번에는 태양 중력장 내에서 지구와 같이 공전하는 TCG와 공전하지 않는 시계 X를 비교하자면 지구의 공전속도 항이 들어간다.
[math]\displaystyle \frac{\Delta t_{\text{X}} }{\Delta t_{\text{TCG}} }=\left(1 - {v_{\text{Earth}}^2 \over c^2}\right)^{-{1 \over 2}}\approx 1+5\times 10^{-9}[/math]
다만 지구는 실제로 공전속력과 태양으로부터의 거리가 미세하게 변하는 타원운동을 하기 때문에 실제 계산은 훨씬 복잡하다.

또한 시계 X에서 태양을 비롯한 나머지 천체의 중력장까지 다 배제하면 TCB가 된다. 이 둘 사이의 비율은 태양의 중력장에서 도출할 수 있다.
[math]\displaystyle \frac{\Delta t_{\text{TCB}} }{\Delta t_{\text{X}} }=1+\frac{GM_{\text{Sun}} }{c^2 R_{\text{Earth\ orbit}} } \approx 1+1\times 10^{-8}[/math]

따라서 TAI로 1년이 흐를 때, TCG는 (1년+0.02초), 시계 X는 (1년+0.18초), TCB는 (1년+0.49초) 흐름을 알 수 있다. 추가로 계산해보자면 태양 표면에서는 (1년-33초) 흐르게 된다. 꽤 미세한 차이지만, 과학에서는 이런 시각 표기 체계를 엄연히 구분해서 쓴다.

3.2 예시: 인공위성

인공위성은 지구 주위를 빠르게 공전한다. 이 때 지표면보다 위에 있으므로 일반상대론 효과로 시간이 좀 더 빨리 흐르며(아래 그림의 초록색 곡선), 초속 수km로 공전하므로 시간의 흐름이 느려진다(빨간색 곡선). 파란색 곡선이 알짜 효과이며, 그래프의 세로 축은 지표의 원자시계로 1초 흐를 때 인공위성에서 몇 피코초 더 빨리 흐르는지를 나타낸다.

이미지 출처
이 그림에 따른다면 지표에서 하루(86400 SI초)가 흐를 때 GPS는 30~40마이크로초 더 흐른다. 이를 보정하지 않으면 내비게이션과 같은 위치추적 장치는 하루에 10km 정도의 오차를 내고 만다. 전파 신호로 위치를 추적하므로 하루 당 오차에서 광속을 곱하면 된다.

4 SF에서의 시간 지연

SF장르, 그 중에서도 특히 우주 여행을 다루는 작품에서 심심찮게 등장하는 요소다. 아광속 여행을 통해 미래로 워프하는 것은 가능하지만, 과거로 가는 것은 불가능하므로 자신이 출발했던 시대(본인에게는 며칠 전으로 느껴지는)로 다시는 돌아갈 수 없기 때문.

보통 네 가지 방법으로 해결한다.

1. 시간 지연을 받아들이고 현실적인 범위 내로 세계관의 크기를 한정한다.
예: 카우보이 비밥. 태양계 안에서 놀면 문제될 것 없다.

2. 다시는 원래 시대로 돌아가지 않을 각오가 된 막장들만 취급한다.
예: 스타크래프트의 테란.

3. 그런 거 필요없고 텔레포트! 즉 상대성 이론을 따르지 않는 이동 방법을 등장시킨다.
예: 은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서.

어슐러 K. 르 귄의 앤서블도 넓게 보면 3의 범위에 속한다. 다만 사람이 아닌 정보만을 전할 수 있다.

4.시간 지연이 이루어지고 세계관의 크기도 크며 시간 지연 자체가 스토리텔링의 한 축이다. 시간 지연을 겪는 등장인물들은 이로 인해 원래 세계와 격리되어간다.

예 : SF영화 인터스텔라, 조 홀드먼의 SF소설 영원한 전쟁